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【题目】两个等腰直角三角形如图放置,∠B=∠CAD=90°,AB=BC=cm,AC=AD,垂直于CD的直线a从点C出发,以每秒cm的速度沿CD方向匀速平移,与CD交于点E,与折线BAD交于点F;与此同时,点G从点D出发,以每秒1cm的速度沿着DA的方向运动当点G落在直线a上,点G与直线a同时停止运动;设运动时间为t秒(t>0).

(1)填空:CD=_______cm;

(2)连接EG、FG,设△EFG的面积为y,求yt之间的函数关系式,并写出相应t的取值范围;

(3)是否存在某一时刻t(0<t<2),∠ADC的平分线DMEF于点M,是否存在点MEF的中点?若存在,求此时的t值;若不存在,请说明理由。

【答案】(1)4 ;(2);②(3)3- .

【解析】分析:

(1)∠B=∠CAD=90°,AB=BC=cm,可得AC=4,结合AC=AD可得CD=

(2)由题意可知,当直线a过点A时,t=2,当直线a过点G时,t=因此需分0<t≤22<t<(当t=运动停止了两段分别进行讨论画出对应的图形如下图1和图2,作出如图所示的辅助线,结合已知条件分析、计算即可得到对应的yt的函数关系式;

(3)如图3,当DM平分∠ADC时,延长DMAB的延长线于点Q,过点DDN⊥AB,并交BA的延长线于点N,由已知条件易得AQ=AD,AN=DN,由此即可求得QN的长,结合EM=EF=DN、EF∥DN可得DF=EN=再由CF=CD-DF即可求得CF的长由此即可求得对应的t的值.

详解

(1)∵在△ABC中,AB=CB=,∠ABC=90°,

∴AC=

△ACD,AC=AD,∠CAD=90°,

∴CD=

(2)由题意可得t=2时,直线a过点A;点G在水平方向上的移动速度为cm/秒,由此可得当t=直线a过点G;由此可分以下两种情况讨论yt间的函数关系:

如图1,过点GGM⊥CD于点M,GH⊥EF于点H,由题意可得EF=BC=,CE=,MD=GD=,GH=ME,

∴GH=CD-CE-MD=

∴y=S△EFG=EF·GH=),

如图2,当时,过点GGN⊥CD于点N,由题意可得EF=DF=CD-CF=,GN=DN=DG=

∴FN=CD-CF-DN=

∴y=SEFG=EF·FN=

化简整理得:当

综上所述,yt间的函数关系式为:;②

(3)存在符合要求的点M,如图3,DM平分∠ADC时,延长DMAB的延长线于点Q,过点DDN⊥AB,并交BA的延长线于点N,

∵∠B=∠CAD=90°,AB=BC,AC=AD,

∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=45°,

∴∠BCD=90°,

∴∠ABC+∠BCD=180°,

∴AB∥CD,

∴∠Q=∠CDQ,∠DAN=∠ADC=45°,

∵DM平分∠ADC,DN⊥AB于点N,

∴∠ADQ=∠CDQ=∠Q,∠DAN=∠ADN=45°,

∴AQ=AD=4,AN=DN=AD=

∴QN=AQ+AN=

由题意可知EF⊥AB,又∵AB∥CD,DN⊥AB,

可得四边形EFDN是矩形,

∴EF=DN,EN=DF,

∵MEF的中点,

∴EM=EF =DN,

∵DF∥DN,

∴△QEM∽△QNB,

∴QE:QN=EM:DN=1:2,

∴QE=QN=

∴DF=EN=QN-QE=

∴CF=CD-DF=

.

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分数

70

80

90

100

人数

11

0

8

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(2)请将甲校成绩统计表和图 2 的乙校成绩条形统计图补充完整;

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