Question

【题目】如图，直线y=x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=（x＜0）的图象于点D，且OD∥AB．

（1）求k的值；

（2）连接OP、AD，求证：四边形APOD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）在直角三角形AOB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到AP=OP=PB，再由PC与x轴垂直，利用三线合一得到C为OA中点，根据OD与AB平行，得到一对内错角相等，利用ASA得到三角形DCO与三角形ACP全等，利用全等三角形对应边相等得到DC=PC，求出A与B坐标，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由（1）的全等得到OD=AP，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到APOD为平行四边形，再根据AP=OP即可得证．

详解：（1）∵∠AOB=90°，P为AB中点，

∴AP=OP=PB，

∵PC⊥AO，

∴AC=OC，

∵DO∥AB，

∴∠DOA=∠OAB，

∴△ACP≌△OCD，

∴DC=CP，

一次函数y=﹣x﹣2中，令y=0，得到x=﹣6，令x=0，得到y=﹣2，

即B点坐标（0，﹣2），A点坐标（﹣6，0），

∴OA=6，OB=2，

∵tan∠OAB=tan∠AOD=，又OC=3，

∴DC=1，

所以点D的坐标（﹣3，1），

代入反比例解析式得k=﹣3；

（2）证明：由（1）△ACP≌△OCD，得AP=DO，又AP∥DO，

∴四边形APOD为平行四边形，

又AP=PO，

∴四边形APOD为菱形．