Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧上取一点D，使，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若CEC D，劣弧的弧长为π，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为3．

【解析】

（1）在△ACE中，根据三角形内角和为180°，则2α+2β+2γ＝180°，即可求解；

（2）证明四边形AMCN为矩形，，而AB=x，则

sin∠ABM=，即∠ABM=60°，即可求解．

（1）∵，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，

设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，

则△ACE中，根据三角形内角和为180°，

∴2α+2β+2γ＝180°，

∴α+β+γ＝90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）过点A作AM⊥BC，延长AD交CE于点N，

则DN⊥CE，∴四边形AMCN为矩形，

设：AB＝CD＝x，则CEx，

则CNCEx＝AM，而AB＝x，

则sin∠ABM，∴∠ABM＝60°，

∴△OAB为等边三角形，即∠AOB＝60°，

2πr＝π，

解得：r＝3，

故圆的半径为3．