Question

【题目】已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于两点．

（1）求的值；

（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；

（3）满足（2）的条件时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）点的坐标为或；（3）的值为或．

【解析】

(1)根据点的坐标，利用待定系数法可求出的值；

(2)由(1)可得出抛物线及直线的解析式，继而可求出点的坐标，设点的坐标为，结合点的坐标可得出的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于的方程，解之即可得出结论；

(3)过点作轴，垂足为点，由点的坐标可得出的长，再利用正弦的定义即可求出的值．

(1)将代入，得：，

∴；

将代入，得：，

∴；

(2)由(1)得：抛物线的解析式为，直线的解析式为，

当时， ，

解得：，

∴点的坐标为，，

设点的坐标为，则，

，

∵是以为底边的等腰三角形，

∴，即，

整理，得：，

解得：，

∴点的坐标为或；

(3)过点作轴，垂足为点，如图所示，

当点的坐标为时，，，

∴；

当点的坐标为时，，，

∴，

∴满足(2)的条件时，的值的值为或．