Question

【题目】如图，P是正方形ABCD边BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD中点．

（1）求证：△ADQ∽△QCP．

（2）试问：AQ与PQ有什么关系（位置与数量）？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由见解析

【解析】分析：（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D=∠C=90°，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．根据相似三角形的对应边成比例即可求得AQ与PQ的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得AQ与PQ的位置关系．

详解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠C=∠D=90°；

又∵Q是CD中点，∴CQ=DQ=AD；

∵BP=3PC，∴CP=AD，∴==．

又∵∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：

由（1）知，△ADQ∽△QCP，==，则===，AQ=2PQ；

∵△ADQ∽△QCP，∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，∴AQ⊥QP．