Question

【题目】在ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F．

（1）如图①，证明：BE＝BF．

（2）如图②，若∠ADC＝90°，O为AC的中点，G为EF的中点，试探究OG与AC的位置关系，并说明理由．

（3）如图③，若∠ADC＝60°，过点E作DC的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线BC的同侧），使EK＝BF，连接CK，H为CK的中点，试探究线段OH与HA之间的数量关系，并对结论给予证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）GO⊥AC;（3）AH=OH

【解析】

（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，再利用ED平分∠ADC，即可解答

（2）连接BG,AG，根据题意得出四边形ABCD是矩形,再利用矩形的性质，证明△ABG≌△CEG,即可解答

（3）连接AK,BK,FK，先得出四边形BFKE是菱形,，再利用菱形的性质证明△KBE,△KBF都是等边三角形,再利用等边三角形的性质得出△ABK≌△CEK，最后利用三角函数即可解答

（1）证明：如图①中，因为四边形ABCD为平行四边形，

所以，AD∥EC，AB∥CD，

所以，∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，

因为ED平分∠ADC，

所以，∠ADF＝∠EDC，

所以，∠E＝∠EFB，

所以，BE＝BF

(2)解:如图⊙中,结论:GO⊥AC

连接BG,AG

∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=90°,

四边形ABCD是矩形,

∠ABC=∠ABE=90°,

由(1)可知:BE=BF,

∵∠EBF=90°,EG=FG,

∴∠E=45°,∠GBF=∠GBE=45°,BG=GE=GF,

∵∠DCE=90°

∴∠E=∠EDC=45°,

∴DC=CE=BA,

∵∠ABG=∠E=45°,AB=EC,BG=EG,

∴△ABG≌△CEG(SAS),

∵GA=GC

∴AO=OC.

∴GO⊥AC

(3)解:如图⊙中,连接AK,BK,FK

∵BF=EK,BF∥EK,

∴四边形BFKE是平行四边形,

∵BF=BE,

∴四边形BFKE是菱形,

∵边形ABCD是平行四边形,

∴∠ADC=∠ABC=60°,∠DCB=∠DAB=120°

∴∠EBF=120°,

∴∠KBE=∠KBF=60°

BF=BE=FK=EK,

∴△KBE,△KBF都是等边三角形,

∴∠ABK=∠CEK=60°,∠FEB=∠FEK=30

∴∠CDE=∠CED=30°

∴CD=CE=BA,

∵BK=EK,

∴△ABK≌△CEK(SAS)

∴AK=CK,∠AKB=∠CKB

∴∠AKC=∠BKE=60°

∴△ACK是等边三角形

∵OA=OC,CH=HK

∴AK=2OH,AH⊥CK,

∴AH=AK·cos30°= AK

∴AH= OH.