Question

4．某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价（1≤x≤100）为（x+40）元/件，而该商品每天的销量满足关系式y=200-2x．如果该商品第20天的售价按7折出售，仍然可以获得40%的高额利润．
（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；
（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至5000元之间（包含4000和5000），且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据：实际售价-成本=利润，列出方程，解方程可得；
（2）根据：每天利润=单件利润×每天销售量列出函数关系式，配方成顶点式可得函数的最值情况；
（3）根据（2）中每天利润减去每天开支a元列出函数关系式P=-2（x-45）²+6050-a，根据最大利润要控制在4000元至5000元之间可得关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围，再由至少有90天的盈利可知-2x²+180x+2000-a=0的两根x₁、x₂间距离x₁-x₂≥90，根据韦达定理可得关于a的不等式，求得a的范围，综合上述情况确定a的范围．

解答 解：（1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据题意，
得：0.7×（20+40）-a=0.4a，
解得：a=30，
故该公司生产每件商品的成本为30元；
（2）设第x天的销售利润为W，
则：W=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元，
故问销售该商品第45天时，每天的利润最大，最大利润是6050元；
（3）记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P，
则P=-2（x-45）²+6050-a，
根据题意：4000≤6050-a≤5000，
解得：1050≤a≤2050，
又∵至少有90天的盈利，
∴-2x²+180x+2000-a=0的两根x₁、x₂间距离x₁-x₂≥90，
∴（x₁-x₂）²≥90²，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂≥90²，
∵x₁+x₂=90，x₁x₂=$\frac{a-2000}{2}$，
∴90²-4×$\frac{a-2000}{2}$≥90²，解得：a≤2000，
综上，1050≤a≤2000．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，明确不等关系并据此列出方程或函数关系式是解题基础，根据题意挖掘出不等关系求a的范围是关键．