Question

12．如图，已知过P点的两条直线交⊙O于A，B，C，D四点，且OP平分∠APC．
（1）求证：PB=PD；
（2）若AB=6，PB=1，OP=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OA、OB，根据角平分线定理得到OE=OF，再证明Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，然后证明Rt△POE≌Rt△POF，得到PE=PF，由PE-AE=PF-CF，得到PA=PC．
（2）根据垂径定理求得AE，得到PE，根据勾股定理得到OE，然后根据勾股定理求得OA．

解答 （1）证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，
∵PO平分∠APC，
∴OE=OF，
在Rt△BOE和Rt△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△DOF，
∴BE=DF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∴PE-BE=PF-DF，
即PB=PD．
（2）解：∵AB=6，PB=1，OP=5，
∴AE=BE=3，
∴PE=4，
在Rt△POE中，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=3，
∴OA=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半径为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线定理，直角三角形全等的判定方法以及勾股定理的应用．