Question

9．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=-$\frac{1}{100}$（x-60）²+41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-$\frac{99}{100}$（100-x）²+$\frac{294}{5}$（100-x）+160（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

Answer 1

分析 （1）由可获得利润P=-$\frac{1}{100}$（x-60）²+41（万元），即可知当x=60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；
（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，即可得函数y=P+Q=[-$\frac{1}{100}$（a-60）²+41]+[-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；
（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值．

解答 解：（1）∵P=$-\frac{1}{100}$（x-60）²+41，
∴当x=60时，p取最大值41，
5年所获利润的最大值=41×5=205；
（2）①∵a=$-\frac{1}{100}$＜0，
∴当x＜60时，p随x增大而增大，
∵拨出50万进行修路，
∴当地政府对该特产的销售投资为50万，
∴当x=50时，p取最大值，代入可得p=40，
则这两年在当地销售的最大利润=40×2=80；
后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，
∴Q=-$-\frac{99}{100}$[100-（100-a）]²+$\frac{294}{5}$[100-（100-a）]+160=-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160，
∴y=P+Q=[-$\frac{1}{100}$（a-60）²+41]+[-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160]=-a²+60a+165=-（a-30）²+1065，
∴当a=30时，y最大且为1065，
∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2=3175（万元）．
（3）有很大的实施价值．
规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．

点评 此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．