Question

如图所示，正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE于F．
（1）试说明：△ABE∽△DFA；
（2）求△DFA的面积S₁和四边形CDFE的面积S₂．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）利用正方形的性质结合条件可得∠DAF=∠AEB，且∠B=∠AFD，可证明△ABE∽△DFA；
（2）可求得△ABE的面积，再由（1）相似可求得△DFA的面积，再利用正方形的面积相减可求得四边形CDFE的面积．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵AB=2，E为BC中点，
∴BE=1，
∴AE=

5

，
∴S_△ABE=

1

2

AB•BE=

1

2

×2×1=1，
∵△ABE∽△DFA，
∴

S△ABE

S△DFA

=（

AE

AD

）²=（

5

2

）²=

5

4

，
∴

1

S1

=

5

4

，
∴S₁=

4

5

，
又∵S_{正方形ABCD}=AB²=4，
∴S₂=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF=4-1-

4

5

=

11

5

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．