Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=

3

，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,坐标与图形性质,三角形三边关系,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：连接OC，交AB于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，此时OE=

1

2

AB=1，由勾股定理求出CE=2，OC=3，设C的坐标是（x，y），由勾股定理得：x²+y²=3²，再证明△AOB∽△EBC，△AOB∽△CEO，可得：

AB

CO

=

BO

EO

，

BO

EO

=

AB

BC

，再代入相应的数值可得：

3

3

x=y，x²+y²=3²即可得出结论．

解答：解：连接OC，交AB于点E，点C作CF⊥x轴于点F，E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，
此时OE=BE=

1

2

AB=1，由勾股定理得：CE=

BC2+BE2

=2，
OC=1+2=3，
设C的坐标是（x，y），
由勾股定理得：x²+y²=3²，
∵EO=BE，
∴∠EOB=∠EBO，
∵∠CFO=∠AOB=90°，∠EOB=∠EBO，
∴△AOB∽△CFO，
∴

AB

CO

=

BO

FO

，
∴

2

3

=

BO

x

，
∴OB=

2

3

x，
∵∠CBA=90°，CE=2，BE=1，
∴∠BCO=30°，∠CEB=60°，
∴∠AEO=∠CEB=60°，
∵AE=OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠BAO=∠CEB=60°，∠CBE=∠AOB=90°，
∵△AOB∽△EBC，
∴

BO

CE

=

AB

BC

，
∴

BO

y

=

2

3

，
∴

2 3 x

y

=

2

3

，
∴

3

3

x=y，
∴x²+（

3

3

x）²=3²，
解得：x=

3 3

2

，y=

3

2

．
故答案为：（

3 3

2

，

3

2

）．

点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．