Question

如图，点P是函数y=

2k

x

上第一象限上一个动点，点A、点B为坐标轴上的点，且A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面积为

1

2

．
（1）若△PAB是直角三角形，请直接写出点P的坐标

 

：
（2）连结PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．请直接写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；    
（3）阅读下面的材料回答问题：
当a＞0时，
a+

1

a

=（

a

）²+（

1

a

）²=（

a

）²-2+（

1

a

）²+2
=（

a

-

1

a

）²+2
因为（

a

-

1

a

）²≥0，所以a+

1

a

≥2，且当

a

-

1

a

=0时，即a=1时，取得最小值2．
因此可得结论：a＞0时，a+

1

a

在a=1处有最小值为2．
问题：请你根据上述材料研究（2）中△PAB的面积S有没有最小值？若有，当m为何值时△PAB的面积S取最小值，并求出S的最小值；若没有，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：阅读型,分类讨论,配方法

分析：（1）根据条件可求出k、OA、OB、∠OBA、∠OAB．由于直角△PAB中的直角不确定，因此需分三种情况讨论，只需利用点P的坐标满足反比例的解析式就可解决问题．
（2）过点P作PH⊥x轴于H，过点P作PG⊥y轴于G，连接OP，如图2．运用割补法就可解决问题．
（3）可借鉴阅读材料的经验，运用配方法就可解决问题．

解答：解：（1）由图可知：2k＞0，即k＞0．
则S_△OAB=

1

2

OB•OA=

1

2

k²=

1

2

．
解得：k₁=1，k₂=-1．
∵k＞0，∴k=1．
∴A（0，1），B（1，0）．
∴OA=OB=1．
∴∠OBA=∠OAB=45°．
①若∠ABP=90°，过点P作PC⊥x轴于C，
连接PA、PB，如图1①．
则有∠PBC=45°=∠BPC．
∴BC=PC
设BC=x则OC=x+1，PC=x．
∴点P的坐标为（x+1，x）．
∵点P在函数y=

2

x

的图象上，
∴x（x+1）=2．
整理得：x²+x-2=0．
解得：x₁=-2（舍），x₂=1．
则点P的坐标为（2，1）．
②若∠BAP=90°，过点P作PD⊥y轴于D，连接PA、PB，如图1②．
同理可得：点P的坐标为（1，2）．
③若∠BPA=90°，
则点P在以AB为直径的圆上．
所以当OP为直径时最长，等于AB长，等于

2

．
而函数y=

2

x

的图象上离原点最近的点的坐标为（

2

，

2

），该点到原点的距离为2．
由于

2

＜2，因此此条件下的点P不存在．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（2，1）或（1，2）．
故答案为：（2，1）或（1，2）．

（2）过点P作PH⊥x轴于H，过点P作PG⊥y轴于G，连接OP，如图2．
∵x_P=t，∴y_P=

2

t

．∴PG=t，PH=

2

t

．
则S=S_{四边形OAPB}-S_△OAB
=S_△OAP+S_△OBP-S_△OAB
=

1

2

OA•PG+

1

2

OB•PH-

1

2

=

1

2

×1×t+

1

2

×1×

2

t

-

1

2

=

t

2

+

1

t

-

1

2

，
∵点P在第一象限，
∴t＞0．
∴S关于t的函数关系式为S=

t

2

+

1

t

-

1

2

，t的取值范围为t＞0．

（3）S=

t

2

+

1

t

-

1

2

=

1

2

（t+

2

t

-1）
=

1

2

（t+

2

t

-2

2

+2

2

-1）
=

1

2

[（

t

-

2

t

）²+2

2

-1]
=

1

2

（

t

-

2

t

）²+

2

-

1

2

．
∴当

t

=

2

t

即t=

2

时，S取到最小值，最小值为

2

-

1

2

．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程等知识，考查了分类讨论、割补法、配方法等思想方法，运用割补法是解决第（2）小题的关键，运用配方法是解决第（3）小题的关键．