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【题目】

如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PA,PBAB,已知∠PBA=∠C.

求证:PB是⊙O的切线;

连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为,求BC的长.

【答案】(1)详见解析;(2)2.

【解析】

试题分析:(1)连接OB,由AC是O的直径可得ABC=90°C+BAC=90°.再由OA=OB可得BAC=OBA. 又因PBA=C,所以PBA+OBA=90°,即PBOB.即可判定PB是O的切线.(2)可证ABC∽△PBO,根据相似三角形的性质即可求BC的长.

试题解析: 证明:如图所示,连接OB.

AC是O的直径,

∴∠ABC=90°C+BAC=90°.

OA=OB,

∴∠BAC=OBA.

∵∠PBA=C,

∴∠PBA+OBA=90°,即PBOB.

PB是O的切线.

解:O的半径为OB=,AC=

OPBC,

∴∠BOP=OBC=C.

∵∠ABC=PBO=90°

∴△ABC∽△PBO,

,即.

BC=2.

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