【题目】如图,在等边中,,动点从点出发以的速度沿匀速运动(与、不重合).动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动,当点到达点时,点、同时停止运动(不与重合).设运动时间为以 ().过作于,连接交 于.
(1) , ;(用含 的代数式表示)
(2)当为何值时,为直角三角形;
(3)点沿的延长线的方向平移到 ,且.是否存在某一时刻,使点在的平分线上?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(4)在运动过程中线段的长是否发生变化?如果不变,求出线段的长.
【答案】(1),;(2);(3)存在,,理由见解析;(4)
【解析】
(1)P、Q速度都为1cm/s,由速度乘时间可得到运动路程均为tcm,PC的长度为等边三角形边长减去t,QC的长度为边长加上t,即可得到答案;
(2)当△CPQ为直角三角形时,∠Q=30°,利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半建立方程求解;
(3)连接交于,由角平分线和平行,易得,利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半,可得,然后建立关于t的方程求解;
(4)过点作,交直线的延长线于点,先利用AAS证明≌,得到,,然后易得≌,推出,最后由线段等量代换可得,即可得出ED始终为等边三角形边长的一半.
解:(1)∵P、Q速度都为1cm/s,
∴BQ=AP=tcm
∴PC=AC-AP=,QC=BC+BQ=
故答案为:,;
(2)∵当△CPQ为直角三角形时,∠Q=30°
∴,即,解得
所以当=2,为直角三角形;
(3)存在.
理由:如图,连接交于
∵在等边三角形ABC中,CF是∠ACB的角平分线,
∴,
∵
∴
∴
在Rt△AEP中,∠APE=30°,
∴AE=AP=
∵EM=AM-AE
∴
即
解得
所以当时,点在的平分线上.
(4)当点、运动时,线段的长度不会改变,理由如下:
过点作,交直线的延长线于点
又∵于
∴
∵点、速度相同
∴
∵是等边三角形,
∴
在和中
∵,,
∴≌()
∴,
在和中
∵∠PDE=∠QDH,∠PED=∠QHD,PE=QH
∴≌()
∴,即
∵
∴
又∵等边的边长为6
∴
所以在运动过程中线段的长不会发生变化,.
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【题目】下列从左边到右边的变形,是因式分解的是( )
A.y﹣5y﹣6=(y﹣6)(y+1)B.a+4a﹣3=a(a+4)﹣3
C.x(x﹣1)=x﹣xD.m+n=(m+n)(m﹣n)
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.
①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;
②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.
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【题目】如图,已知点P是线段AB上一点,∠ABC=∠ABD,在下面判断中错误的是( ).
A.若添加条件,AC=AD,则△APC≌△APD
B.若添加条件,BC=BD,则△APC≌△APD
C.若添加条件,∠ACB=∠ADB,则△APC≌△APD
D.若添加条件,∠CAB=∠DAB,则△APC≌△APD
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【题目】如图,分别以长方形OABC的边OC,OA所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐 标系.已知AO=13,AB=5,点E在线段OC上,以直线AE为轴,把△OAE翻折,点O的对应点D恰好落在线段BC上.则点E的坐标为_______.
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【题目】满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.∠A-∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=3: 4: 7
C.∠A=2∠B=3∠CD.∠A=9°,∠B=81°
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【题目】如图,某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长米),用木栏围成三个大小相等的长方形,木栏总长24米,总面积为32平方米.
(1)若墙长米,求AB、BC的长.
(2)若米的墙长对鸡舍的长和宽是否有影响?请说明你的理由.
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