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【题目】如图,在等边中,,动点从点出发以的速度沿匀速运动(不重合).动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动,当点到达点时,点同时停止运动(不与重合).设运动时间为以 ().过,连接 .

1 ;(用含 的代数式表示)

2)当为何值时,为直角三角形;

3)点沿的延长线的方向平移到 ,且.是否存在某一时刻,使点的平分线上?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;

4)在运动过程中线段的长是否发生变化?如果不变,求出线段的长.

【答案】1;(2;(3)存在,,理由见解析;(4

【解析】

1PQ速度都为1cm/s,由速度乘时间可得到运动路程均为tcmPC的长度为等边三角形边长减去tQC的长度为边长加上t,即可得到答案;

2)当△CPQ为直角三角形时,∠Q=30°,利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半建立方程求解;

3)连接,由角平分线和平行,易得,利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半,可得,然后建立关于t的方程求解;

4)过点,交直线的延长线于点,先利用AAS证明,得到,然后易得,推出,最后由线段等量代换可得,即可得出ED始终为等边三角形边长的一半.

解:(1)∵PQ速度都为1cm/s

BQ=AP=tcm

PC=AC-AP=QC=BC+BQ=

故答案为:

2当△CPQ为直角三角形时,∠Q=30°

,即,解得

所以当=2为直角三角形;

3)存在.

理由:如图,连接

∵在等边三角形ABC中,CF是∠ACB的角平分线,

RtAEP中,∠APE=30°,

AE=AP=

EM=AM-AE

解得

所以当时,点的平分线上.

4)当点运动时,线段的长度不会改变,理由如下:

过点,交直线的延长线于点

速度相同

是等边三角形,

∵∠PDE=QDH,∠PED=QHDPE=QH

,即

等边的边长为6

所以在运动过程中线段的长不会发生变化,

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