Question

如图，正△ABC的边长为4，⊙O与正△ABC的边AB，BC都相切，点D，E，F分别在边AC，AB，BC上，现将正△ABC沿着DE，DF折叠，点A，点C都恰好落在圆心O处，连接EF，若EF恰好与⊙O相切，则⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：求出△BEF是等边三角形，设OQ=a，求出OE=2a，EQ=

3

a，求出EF=2

3

a，根据AB=4得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：
设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4，
∵将正△ABC沿着DE，DF折叠，点A，点C都恰好落在圆心O处，
∴AE=OE，CF=OF，∠EOQ=∠A=60°，∠FOQ=∠C=60°，
∵EF切⊙O于Q，
∴∠EQO=90°，
∴∠OEQ=30°，
设OQ=a，
∴OE=2a，EQ=

3

a，
则AE=OE=2a，
同理FQ=

3

a，
即EF=2

3

a，
∵⊙O切AB于M，切BF于N，切EF于Q，
∴∠MEO=∠OEQ=30°，
∴∠BEF=60°，
∵∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=EF=2

3

a，
∵AB=AE+BE=4，
∴2

3

a+2a=4，
解得：a=

3

-1，
即⊙O的半径为

3

-1，
故答案为：

3

-1．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，切线长定理，切线的性质，解直角三角形等知识点的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度偏大．