Question

如图1，抛物线y=a（x﹣1）²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE=1，且∠DBE=∠BMD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；

（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标．

　

Answer 1

 

【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】综合题．

【分析】（1）由∠DBE=∠BMD可得△BDE∽△MDB，然后根据相似三角形的性质可求出DB，从而得到点B的坐标，然后把点B的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；

（2）可分点E和点B为直角顶点两种情况进行讨论：①点E为直角顶点，作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P₁、P₂，如图1，易证△FDE∽△EDB，根据相似三角形的性质可求出DF的值，从而可求出点F的坐标，然后用待定系数法求出直线EF的解析式，再求出直线EF与抛物线的交点，就可解决问题；②点B为直角顶点，先求出BP₃的解析式，再求出直线BP₃与抛物线的交点，就可解决问题；

（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．设N（1，n），易得NG=MN=（4﹣n），NA²=2²+n²=4+n²，由题可得NG=NA，由此即可得到关于n的方程，解这个方程就可解决问题．

【解答】解：（1）由题可知：M（1，4），

则有OD=1，DM=4．

∵∠DBE=∠BMD，∠BDE=∠MDB，

∴△BDE∽△MDB，

∴=，

∵DE=1，DM=4，

∴=，

解得：DB=2，

∴OB=OD+DB=3，

∴B（3，0）．

把点B（3，0）代入y=a（x﹣1）²+4，得

a（3﹣1）²+4=0，

解得：a=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3；

 

（2）①当∠PEB=90°时，

作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P₁、P₂，如图1，

则有∠FEB=∠FED+∠DEB=90°．

∵∠FED+∠EFD=90°，

∴∠EFD=∠DEB．

∵∠FDE=∠EDB=90°，

∴△FDE∽△EDB，

∴=，

∴=，

解得：DF=，

∴OF=OD﹣DF=1﹣=，

∴F（，0）．

设直线EF的解析式为y=kx+b，

则有，

解得：，

∴直线EF的解析式为：y=2x﹣1．

联立，

解得：或，

∴P₁（2，3），P₂（﹣2，﹣5）；

②当∠PBE=90°时，

可设直线BP₃的解析式为：y=2x+n，

把B（3，0）代入y=2x+n，得

6+n=0，

解得：n=﹣6，

∴直线BP₃的解析式为y=2x﹣6，

联立，

解得：或，

∴P₃（﹣3，﹣12）．

综上所述：符合条件的P点的坐标为P₁（2，3），P₂（﹣2，﹣5），P₃（﹣3，﹣12）；

 

（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．

则有∠MGN=∠MHC=90°．

设N（1，n），

当x=0时，y=3，点C（0，3）．

∵M（1，4），

∴CH=MH=1，

∴∠CMH=∠MCH=45°，

∴NG=MN=（4﹣n）．

在Rt△NAD中，

∵AD=DB=2，DN=n，

∴NA²=2²+n²=4+n²．

当直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，有NG=NA，

∴（4﹣n）²=4+n²

整理得：n²+8n﹣8=0，

解得：n₁=﹣4+2，n₂=﹣4﹣2（舍负），

∴N（1，﹣4+2）．

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，用到了分类讨论的思想，利用NG=NA则是解决第（3）小题的关键．