【题目】等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是AC上一点。点E在BD的延长线上,且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于点F,连接CF
(1)如图1,找到与∠CFB相等的角,并证明
(2)如图2,如当∠ABC=60°,AF=m,EF=n时,求FB的长(用含m、n的式子表示)
【答案】(1)见解析;(2) m+n.
【解析】
(1)证△EAF≌△CAF,推出EF=CF,∠E=∠ACF,根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABF,即可得出答案;
(2)在FB上截取BM=CF,连接AM,证△ABM≌△ACF,推出EF=FC=BM,AF=AM,推出△AMF是等边三角形,推出MF=AF,即可得出答案;
证明:(1)∠CFB=∠CAB,
∵AF平分∠CAE,
∴∠EAF=∠CAF,
∵AB=AC,AB=AE,
∴AE=AC,
在△ACF和△AEF中,
,
∴△ACF≌△AEF(SAS),
∴∠E=∠ACF,
∵AB=AE,
∴∠E=∠ABE,
∴∠ABE=∠ACF,
∵∠ADB=∠CDF,
∴∠CFB=∠CAB;
(2)如图2,
∵△ACF≌△AEF,
∴EF=CF,∠E=∠ACF=∠ABM,
在FB上截取BM=CF,连接AM,
在△ABM和△ACF中,
,
∴△ABM≌△ACF(SAS),
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF,
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°,
∵AM=AF,
∴△AMF为等边三角形,
∴AF=AM=MF,
∴AF+EF=BM+MF=FB,
∵AF=m,EF=n,
即FB=m+n.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=2CDOE;
(3)若,求OE的长.
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【题目】某水果商店经销一种苹果,共有20筐,以每筐25千克为标准,超过或不足的千克数分别用正、负数来表示,记录如表:
与标准质量的差值(单位;千克) | -3 | -2 | -1.5 | 0 | 1 | 2.5 |
筐数 | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 8 |
(1)这20筐苹果中,最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克?
(2)与标准重量比较,这20筐苹果总计超过或不足多少千克?
(3)若苹果每千克售价元,则出售这20筐苹果可卖多少元?
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【题目】将一些长30厘米,宽10厘米的长方形纸,按图所示方法粘合起来,粘合部分的宽为2厘米.
(1)求5张白纸粘合后的总长度为多少厘米?
(2)设x张白纸粘合后的总长度为y厘米,请写出y与x之间的关系式?
(3)求当x=20时,试求y的值为多少.
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【题目】某超市在“十一”长假期间对顾客实行优惠,规定如下:
一次性购物金额 | 优惠办法 |
不超过100元 | 不予优惠 |
超过100元但不超过500元 | 超过100元部分给予九折优惠 |
超过500元 | 超过500元部分给予八折优惠 |
(1)小明的爷爷一次性购200元的保健食品,他实际付款_____元;小明妈妈一次性购300元的衣服,她实际付款_____元;如果他们两人合作付款,则能少付_____元;
(2)小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品,当x大于或等于500时,她实际付款_____元;(用含x的式子表示,写最简结果)
(3)如果小芳奶奶两次购物货款合计900元,第一次购物的货款为a元(),两次购物小芳奶奶实际付款多少元?(用含a的式子表示)
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【题目】某中学对全校1200名学生进行“校园安全知识”的教育活动,从1200名学生中随机抽取部分学生进行测试,成绩评定按从高分到低分排列分为四个等级,绘制了图①、图②两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)求本次抽查的学生共有______人;
(2)将条形统计图和扇形统计图补充完整;
(3)扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______;
(4)估计全校“”等级的学生有______人
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【题目】如图,已知抛物线经过A(3,0),B(0,3)两点.
(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式;
(2)如图①,动点E从O点出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从A点出发,沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动,连接EF,设运动时间为t秒,当t为何值时,△AEF为直角三角形?
(3)如图②,取一根橡皮筋,两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中, AB的垂直平分线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,∠BAC=124°,则∠DAE的度数为( )
A.68°B.62°C.66°D.56°
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【题目】小亮房间窗户的窗帘如图1所示,它是由两个四分之一圆组成(半径相同).
(1)请用代数式表示装饰物的面积:______;
用代数式表示窗户能射进阳光的面积:______;(结果保留)
(2)小亮又设计了如图2的空帘(由一个半圆和两个四分之一圆组成,半径相同),请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大?如果更大,那么大多少?(用代数式表示)
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