Question

平面直角坐标系中，将两张全等的含90°角的三角形纸片△AOC和△DOE按如图所示摆放在一起，相交于点F．
（1）若直线AC的函数解析式为y=-2x+4，求坐标原点O到直线ED的距离；
（2）在（1）的条件下，连接OF，设点P在x轴上，若△POF是等腰三角形，试求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由条件可求出OE=OC=2，OD=OA=4，在Rt△OED中由勾股定理可求出线段ED的长度，利用等积法可求出点O到直线ED的距离；
（2）根据待定系数法，可得直线DE的解析式，根据解方程组，可得F点的坐标，根据等腰三角形的定义，可得两边相等，分类讨论：OF=OP，PF=OF，PO=PF，根据两点间的距离公式，可得答案．

解答：解：（1）当x=0时，y=4，A（0，4），
当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，C（2，0），
OA=4，OC=3，
∵△OAC≌△ODE，
∴OE=OC=2，OD=OA=4，
由勾股定理，得DE=2

5

，
设O到ED的距离为h，
有三角形的面积，得

1

2

DEh=

1

2

OE•OD，
即h=

2×4

2 5

，
解得h=

4 5

5

；
 （2）直线DE的解析式为y=kx+b，图象经过（4，0）（0，2），得

4k+b=0 0+b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
直线DE的解析式为y=

1

2

x+2，
F是直线AC与DE的交点，得

y= 1 2 x+2 y=-2x+4

，
解得

y= 4 3 x= 4 3

，
F（

4

3

，

4

3

）．
设P点坐标是（x，0），
①当OF=OP时，|x|=

( 4 3 )2+( 4 3 )2

，即|x|=

4

3

2

，
x=±

4

3

2

，P（

4

3

2

，0），P（-

4

3

2

，0）
②当PF=OF时，

(x- 4 3 )2+(0- 4 3 )2

=

( 4 3 )2+( 4 3 )2

，
解得x=

8

3

，P（

8

3

，0）；
③当PO=PF时，|x|=

(x- 4 3 )2+(0- 4 3 )2

，
解得x=

4

3

，P（

4

3

，0），
综上所述：△POF是等腰三角形，点P的坐标是（

4

3

2

，0），（-

4

3

2

，0），（

8

3

，0），（

4

3

，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的性质，三角形的面积公式；等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．