Question

【题目】如图，在中，于，连接交于点,．

（1）如图1，求证:；

（2）如图2，于点，求证:；

（3）如图3，点在的延长线上，于点交于点，连接,交的延长线于点，连接，当的面积为时， 求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）图见解析；（3）．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理和对顶角的性质得到∠ABE=∠DCE，根据等边对等角得到∠BAC=∠ABC，利用角的和差即可得出结论；

（2）在FB上截取FG=FC，连接EG．证明△EFG≌△EFC，得到EG=EC，∠EGC=∠ECG．再由三角形外角的性质得到∠EBG=∠BEG，由等角对等边得到BG=GE，进而有EC=BG，根据等式的性质即可得到AE=CG=2FC．

（3）作GN∥AC交AB的延长线于N，延长RA、CD交于点P．证明△GHC≌△CAP(ASA)，根据全等三角形的性质得到GC=CP，CH=AP．通过证明△KGN∽△BCD，得到，从而得到KG=KH，则可以证明△KGN≌△KHA，由全等三角形的性质得到AH=GN=GB，根据线段的和差得到CH=PD，从而得到AP=CH=PD．设AP=x，AH=y，则CH=PD=x，GN=GB=y，CD=2y．在Rt△APC中，根据勾股定理求得x=3y，得到AC=x+y=4y，由平行线分线段成比例定理得到，故，由，从而求得y的值．由BC=AC=4y即可得出结论．

（1）∵∠BAC=∠BDC，∠AEB=∠DEC，

∴∠ABE=∠DCE．

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

∴2∠ABC+∠BCA=180°，

∴2(∠ABE+∠DBC)+∠BCA=180°．

∵CD⊥CB，

∴∠BCD=90° ，

∴∠BCA+∠DCE=90°，

∴2∠BCA+2∠DCE=180°，

∴2∠BCA+2∠ABE=180°，

∴2∠BCA+2∠ABE=2(∠ABE+∠DBC)+∠BCA，

∴∠BCA=2∠DBC，

∴∠ECB=2∠EBC；

（2）在FB上截取FG=FC，连接EG．

∵EF⊥BC，

∴∠EFG=∠EFC=90°．

在△EFG和△EFC中，∵EF=EF，∠EFG=∠EFC，GF=FC，

∴△EFG≌△EFC，

∴EG=EC，∠EGC=∠ECG．

∵∠ECB=2∠EBC，

∴∠EGC=2∠EBC．

∵∠EBG+∠BEG=∠EGC，

∴∠EBG+∠BEG=2∠EBG，

∴∠EBG=∠BEG，

∴BG=GE，

∴EC=BG．

∵AC=BC，

∴AE=CG=2FC．

（3）如图，作GN∥AC交AB的延长线于N，延长RA、CD交于点P．

∵GH⊥AC，

∴∠AHG=∠CHG=90°，

∴∠HCG+∠CGH=90°．

∵AR∥GH，

∴∠PAC=∠AHG=90°，

∴∠PAC=∠CHG．

∵CD⊥BC，

∴∠PCA+∠HCG=90°，

∴∠PCA=∠CGH．

在△GHC和△CAP中，

∵∠GHC=∠CAP，GH=CA，∠CGH=∠PCA，

∴△GHC≌△CAP(ASA)．

∴GC=CP，CH=AP．

∵AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=∠CDB．

∵GN∥AC，

∴∠N=∠CAB，

∴∠N=∠CAB=∠CBA=∠GBN=∠CDB，

∴GN=GB．

∵GH⊥AC，GN∥AC，

∴∠KGN=90°=∠DCB，

∴△KGN∽△BCD，

∴，

∴KG=BC=AC=GH，

∴KG=KH．

∵∠AHK=∠KGN=90°，∠HAK=∠N，KG=KH，

∴△KGN≌△KHA，

∴AH=GN=GB，

∴CH=AC－AH=BC－GB=CG－2GB=CG－CD=PD，

∴AP=CH=PD．

设AP=x，AH=y，则CH=PD=x，GN=GB=y，CD=2y．

在Rt△APC中，，

解得：x=3y或x= -y(舍去)，

∴AC=x+y=4y．

∵AR∥HK，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴y=或y=(舍去)，

∴BC=AC=4y=6．