Question

已知△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
操作：将△ABC绕点B逆时针旋转α°，得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接BF，
（1）若∠α=60°，请你先在图1中画出图形，再猜想线段DF与BC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若∠α＜60°，请你先在图2中画出图形，再探究线段DF与BC边的数量关系是

 

（直接写出答案，用含α的式子表示）

Answer 1

考点：作图-旋转变换,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据题意画出图形，由旋转可知△ABC≌△DBE，根据∠DBE=∠ABC=60°可知∠D=∠A=30°，故可得出Rt△FEB≌Rt△FCB，由此可得出结论；
（2）同（1）可得Rt△FEB≌Rt△FCB，由DF=DE+EF即可得出结论．

解答：解：（1）如图1所示，
猜想：DF=

4 3

3

BC．
由旋转可知△ABC≌△DBE，
∵∠DBE=∠ABC=60°
∴∠D=∠A=30°
∵∠DEB=∠ACB=90°，DE=AC，BE=BC，
∴∠FEB=∠ACB=90°，
在Rt△FEB与Rt△FCB中，
∵

BE=BC BF=BF

∴Rt△FEB≌Rt△FCB（HL），
∴∠FBE=∠FBC=30°，∠DBF=90°．
设CF=x，BF=2x，DF=4x，BC=

3

x，
∴DF=

4 3

3

BC．

（2）如图2所示，
∵同（1）可得，DE=AC=

3

BC，Rt△FEB≌Rt△FCB，
∴CF=EF=tan

α

2

BC，
∴DF=DE+EF=（

3

+tan

α

2

）BC．
故答案为：（

3

+tan

α

2

）BC．

点评：本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．