Question

【题目】如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与、交于点、.

（1）过点作的切线与相交于点，求证：；

（2）连接，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【解析】

（1）连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则∠1=∠B，再证明∠2=∠B得到ON∥DB，接着根据切线的性质得到ON⊥NE，然后利用平行线的性质得到结论；
（2）连接DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM=CN，然后证明CN=BN，从而得到MD=NB．

证明：（1）连接ON，如图，

∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD=AD=DB，
∴∠1=∠B，
∵OC=ON，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B，
∴ON∥DB，
∵NE为切线，
∴ON⊥NE，
∴NE⊥AB；
（2）连接DN，如图，

∵CD为直径，
∴∠CMD=∠CND=90°，
而∠MCB=90°，
∴四边形CMDN为矩形，
∴DM=CN，
∵DN⊥BC，∠1=∠B，
∴CN=BN，
∴MD=NB．