【题目】问题提出:
如图所示,有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
a.每次只能移动1个金属片;
b.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
把个金属片从1号针移到3号针,最少移动多少次?
问题探究:为了探究规律,我们采用一般问题特殊化的方法,先从简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性结论.
探究一:当时,只需把金属片从1号针移到3号针,用符号表示,共移动了1次.
探究二:当时,为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面,我们利用2号针作为“中间针”,移动的顺序是:
a.把第1个金属片从1号针移到2号针;
b.把第2个金属片从1号针移到3号针;
c.把第1个金属片从2号针移到3号针.
用符号表示为:,,.共移动了3次.
探究三:当时,把上面两个金属片作为一个整体,则归结为的情形,移动的顺序是:
a.把上面两个金属片从1号针移到2号针;
b.把第3个金属片从1号针移到3号针;
c.把上面两个金属片从2号针移到3号针.
其中(1)和(3)都需要借助中间针,用符号表示为:
,,,,,,.共移动了7次.
(1)探究四:请仿照前面步骤进行解答:当时,把上面3个金属片作为一个整体,移动的顺序是:___________________________________________________.
(2)探究五:根据上面的规律你可以发现当时,需要移动________次.
(3)探究六:把个金属片从1号针移到3号针,最少移动________次.
(4)探究七:如果我们把个金属片从1号针移到3号针,最少移动的次数记为,当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针,最少移动的次数记为,那么与的关系是__________.
【答案】(1)当时,移动顺序为:(1,2),(1,3),(2,3),(1,2),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(2,3),(1,2),(1,3),(2,3).
(2),(3),(4)
【解析】
根据移动方法与规律发现,随着盘子数目的增多,都是分两个阶段移动,用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱,然后把最大的盘子移动到3柱,再用同样的次数从2柱移动到3柱,从而完成,然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可.
解:(1)当时,把上面3个金属片作为一个整体,移动的顺序是:
(1,2),(1,3),(2,3),(1,2),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(2,3),(1,2),(1,3),(2,3).
故答案为:(1,2),(1,3),(2,3),(1,2),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(2,3),(1,2),(1,3),(2,3).
(2)解:设 是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
n=1时,f(1)=1;
n=2时,小盘→2柱,大盘→3柱,小柱从2柱→3柱,完成,即
n=3时,小盘→3柱,中盘→2柱,小盘从3柱→2柱,大盘从1柱→3柱,小盘从2柱→1柱,中盘从2柱→3柱,小盘从1柱→3柱,完成.
[用种方法把中、小两盘移到2柱,大盘3柱;再用 种方法把中、小两盘从2柱3柱,完成],
故答案为:
(3)由(2)知:
故答案为:
(4)
故答案为:
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【题目】如图①,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,点E是BC边上一动点,连接AE、DE ,作△ECD的外接⊙O,交AD于点F,交AE于点G,连接FG.
(1)求证△AFG∽△AED;
(2)当BE的长为 时,△AFG为等腰三角形;
(3)如图②,若BE=1,求证:AB与⊙O相切.
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【题目】甲、乙、丙、丁四人做传球游戏:第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人,第二次由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人.
(1)第一次传球后球到乙手里的概率为 ;
(2)画树状图或列表求第二次传球后球回到甲手里的概率.
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【题目】在学习“轴对称现象”内容时,老师让同学们寻找身边的轴对称图形,小明利用手中的一副三角尺和一个量角器(如图所示)进行探究.
(1)小明在这三件文具中任取一件,结果是轴对称图形的概率是_________;(取三件中任意一件的可能性相同)
(2)小明发现在、两把三角尺中各选一个角拼在一起(无重叠无缝隙)会得到一个更大的角,若每个角选取的可能性相同,请用画树状图或列表的方法说明拼成的角是钝角的概率是多少.
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【题目】如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)求证:BD=CE;
(2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,求PB的长;
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【题目】为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况,随机抽取了四市部分市民进行调查,要求被调查者从“A:自行车,B:电动车,C:公交车,D:家庭汽车,E:其他”五个选项中选择最常用的一项,将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合统计图回答下列问题:
(1)在这次调查中,一共调查了 名市民,扇形统计图中,C组对应的扇形圆心角是 °;
(2)请补全条形统计图;
(3)若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种,则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少?请用画树状图或列表法求解.
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【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=6,∠EDF的顶点D是AB的中点,且∠EDF=45°,现将∠EDF绕点D旋转一周,在旋转过程中,当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H,把△DGH沿DH折叠,点G落在点M处,连接AM,若=,则AH的长为_______.
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【题目】如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需要绕行B地,已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留整数)(参考数据:sin67°≈0.92;cos67°≈0.38;≈1.73)
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