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【题目】如图,在等腰RtABC中,ACBC6,∠EDF的顶点DAB的中点,且∠EDF45°,现将∠EDF绕点D旋转一周,在旋转过程中,当∠EDF的两边DEDF分别交直线AC于点GH,把△DGH沿DH折叠,点G落在点M处,连接AM,若,则AH的长为_______

【答案】3

【解析】

分三种情形:①如图1中,当点H在线段AC上,点GAC的延长线上时,连接CD,作DJACJ,设AH3kAM4k.②如图2中,当点H在线段AC上,点G在上时,连接CD,作DJACJ,设AH3kAM4k.③如图3中,当点H在线段CA的延长线上,点G在线段AC上时,连接CD,作DJACJ,设AH3kAM4k.首先证明AMAC,利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可.

解:①如图1中,当点H在线段AC上,点GAC的延长线上时,连接CD,作DJACJ,设AH3kAM4k

CACB,∠ACB90°ADDB

CDABCDDADB

∴∠ACD=∠DCB45°,∠DCG135°

∵∠EDF=∠EDM45°DGDM

∴∠ADC=∠MDG

∴∠ADM=∠CDG

∴△ADM≌△CDGSAS),

∴∠DAM=∠DCG135°

∵∠CAB45°

∴∠CAM90°

MHGH5k

∵∠GDH=∠GAD45°,∠DGH=∠AGD

∴△DGH∽△AGD

DG2GHGA40k2

ACBC6,∠ACB90°

ABAC12

ADCD6

DJAC

AJJC3DJAJIC3

GJ8K3

RtDJG中,∵DG2DJ2+GJ2

40k2=(8k32+32

解得k(舍弃),

AH3k

②如图2中,当点H在线段AC上,点G在上时,连接CD,作DJACJ,设AH3kAM4k

同法可得:40k2=(8k32+32

解得k(舍弃)或

AH3k

③如图3中,当点H在线段CA的延长线上,点G在线段AC上时,连接CD,作DJACJ,设AH3kAM4k

同法可得:10k2=(32k2+32

解得k或﹣3(舍弃),

AH3k3

综上所述,满足条件的AH的值为3

故答案为3

练习册系列答案
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如图所示,有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.

a.每次只能移动1个金属片;

b.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.

个金属片从1号针移到3号针,最少移动多少次?

问题探究:为了探究规律,我们采用一般问题特殊化的方法,先从简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性结论.

探究一:当时,只需把金属片从1号针移到3号针,用符号表示,共移动了1次.

探究二:当时,为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面,我们利用2号针作为中间针,移动的顺序是:

a.把第1个金属片从1号针移到2号针;

b.把第2个金属片从1号针移到3号针;

c.把第1个金属片从2号针移到3号针.

用符号表示为:.共移动了3次.

探究三:当时,把上面两个金属片作为一个整体,则归结为的情形,移动的顺序是:

a.把上面两个金属片从1号针移到2号针;

b.把第3个金属片从1号针移到3号针;

c.把上面两个金属片从2号针移到3号针.

其中(1)和(3)都需要借助中间针,用符号表示为:

.共移动了7次.

1)探究四:请仿照前面步骤进行解答:当时,把上面3个金属片作为一个整体,移动的顺序是:___________________________________________________.

2)探究五:根据上面的规律你可以发现当时,需要移动________次.

3)探究六:把个金属片从1号针移到3号针,最少移动________次.

4)探究七:如果我们把个金属片从1号针移到3号针,最少移动的次数记为,当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针,最少移动的次数记为,那么的关系是__________

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