【题目】如图,在△中,高=3,∠=45°,=,动点从点出发,沿方向以每秒1个单位长度的速速向终点运动,当点与点、不重合时,过点作、的平行线,与分别交于点、,将△绕的中点旋转180°得△,设点的运动时间为秒,△与△重叠部分面积为.
(1)当= 秒时,点落在边上.
(2)求与的函数关系式.
(3)当直线将△分为面积比为1:3的两部分时,直接写出的值.
【答案】(1);(2)当0<1≤时,;<t<3时,S=;(3)t=或t=
【解析】
(1)由旋转的性质可得EH=FG=3t,再根据平行线分线段成比例可得,得到方程求解即可;
(2)分0<1≤和<t<3时,结合图形利用三角形面积计算公式即可得出函数关系;
(3)根据“直线将△分为面积比为1:3的两部分”分两种情况由BG:BC=1:2与BG:BC=:2时求出t的值即可.
(1)当点H落在AC边上时,如图1,
∵AD ⊥BC,∠B=45°
∴△ABD为等腰直角三角形,
∵FE// AB,
∴△FED为等腰直角三角形,
∴ED=FD=t,
又∵FG//AC,
∴∠FGD=∠C,
∴tan∠FGD=tan C=
∴DG=2t,
∴EG=3t
又∵△HG由△EFG旋转得到,
FH=EG=3t, 四边形FE GH为平行四边形,
∴FH //BC,
∴
∴,解得,t=,
即当t=秒时,点H落在AC边上.
故答案为:;
(2) ①当0<1≤时, 如图2, 重叠部分图形为A HGF,
图2
∴
②当<t<3时, 如图3,重叠部分图形为四边形MFG N,
,
,
过N作于K,
=
(3)①当BG:BC=1:2时, 如图4,
此时KG为△ABC的中位线,S△BKG:S四边形AKGC=1:3,
∵AD=3,∠ABD=45°,AD⊥BC
∴BD=AD=3,
∵KG//AC,
∴∠C=∠KGB,tanC=,
∴tan∠KGB =,
∴DG=2t,DC=6
∴BC=9,
∴,解得,t=;
②当BG:BC=:2时,如图5,此时S四边形AKGC:S△BKG=1:3,
∴,解得,t=
综上, 当直线FG将△ABC分为面积比为1:3的两部分时,t=或t=.
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【题目】如图①,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,点E是BC边上一动点,连接AE、DE ,作△ECD的外接⊙O,交AD于点F,交AE于点G,连接FG.
(1)求证△AFG∽△AED;
(2)当BE的长为 时,△AFG为等腰三角形;
(3)如图②,若BE=1,求证:AB与⊙O相切.
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【题目】如图,A,B是反比例函数(k≠0)图象上的两点,延长线段AB交y轴于点C,且B为线段AC的中点,过点A作AD⊥x轴于点D,E为线段OD的三等分点,且OE<DE.连接AE,BE.若S△ABE=7,则k的值为_________.
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【题目】在平面直角坐标系中,矩形的顶点(1,0),(0,2),点在第一象限,∥轴,若函数=的图象经过矩形的对角线的交点,则的值为( )
A.4B.5C.8D.10
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【题目】某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求,随即抽样调查了该校的部分学生,并根据其中两个单选问题的调查结果,绘制了如下尚不完整的统计图表.
学生能接受的早餐价格统计表
价格分组(单位:元) | 频数 | 频率 |
0<x≤2 | 60 | 0.15 |
2<x≤4 | 180 | c |
4<x≤6 | 92 | 0.23 |
6<x≤8 | a | 0.12 |
x>8 | 20 | 0.05 |
合计 | b | 1 |
根据以上信息解答下列问题:
(1)统计表中,a= ,b= ,c= .
(2)扇形统计图中,m的值为 ,“甜”所对应的圆心角的度数是 .
(3)该餐厅计划每天提供早餐2000份,其中咸味大约准备多少份较好?
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【题目】甲、乙、丙、丁四人做传球游戏:第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人,第二次由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人.
(1)第一次传球后球到乙手里的概率为 ;
(2)画树状图或列表求第二次传球后球回到甲手里的概率.
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【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=6,∠EDF的顶点D是AB的中点,且∠EDF=45°,现将∠EDF绕点D旋转一周,在旋转过程中,当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H,把△DGH沿DH折叠,点G落在点M处,连接AM,若=,则AH的长为_______.
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