Question

【题目】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是BC边上一动点，连接AE、DE ，作△ECD的外接⊙O，交AD于点F，交AE于点G，连接FG．

（1）求证△AFG∽△AED；

（2）当BE的长为 时，△AFG为等腰三角形；

（3）如图②，若BE＝1，求证：AB与⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3、4.5、9－3；（3）详见解析

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质可得∠AGF＝∠ADE，又∠GAF＝∠DAE，从而可证明△AFG∽△AED；

（2）先证明四边形ABEF是矩形，得EF=6，然后分当时；当时；当时三种情况，运用勾股定理求解即可；

（3）连接OM，运用梯形中位线证明OM=OD，即可．

（1）证明：∵四边形FGED是⊙O的内接四边形，

∴∠AGF＝∠ADE．

又∠GAF＝∠DAE，

∴△AFG∽△AED；

（2）由（1）可知△AFG∽△AED，

∴当△AFG是等腰三角形时，△AED是等腰三角形时，

连接EF，如图，

∵四边形ABCD是矩形，，

，，，

是的外接圆，

是的直径，

，

，

，

∴四边形是矩形，

，

是等腰三角形，

∴分三种情况：

①当时，，

，

又，

，

；

②当时，

在中，，，，

，

；

③当时

在中，，，，

综上，当的长为或或时，为等腰三角形，

（3）设AB的中点为M，连接OM，如图，

当时，，

∵四边形是矩形，

，，，

在中，，

是的直径，

，

∴四边形是梯形，

又是AB的中点，O为DE的中点，

是梯形的中位线，

，

，

又

∴AB与相切．