Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直于AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠B=∠D，求∠D的度数．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由AB⊥CD得到DE=

1

2

CD=8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r-4）²+8²=r²，解得r=10，所以⊙O的直径为20；
（2）由OM=OB得到∠B=∠M，根据三角形外角性质得∠DOB=∠B+∠M=2∠B，则2∠B+∠D=90°，加上∠B=∠D，所以2∠D+∠D=90°，然后解方程即可得∠D的度数．

解答：解：（1）设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×16=8，
在Rt△ODE中，OE=OB-BE=r-4，OD=r，
∵OE²+DE²=OD²，
∴（r-4）²+8²=r²，解得r=10，
∴⊙O的直径为20；
（2）∵OM=OB，
∴∠B=∠M，
∴∠DOB=∠B+∠M=2∠B，
∵∠DOE+∠D=90°，
∴2∠B+∠D=90°，
∵∠B=∠D，
∴2∠D+∠D=90°，
∴∠D=30°．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．