Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=2，点E为AC的中点，点F在边BC上，且FE⊥BE，则CF=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：过C作CD⊥EF，交EF的延长线于点D，可证明△CDE∽△EAB，利用对应边成比例可求得CD，又可证明△CDF∽△BEF，可求得CF和BF之间的关系，结合BC=BF+CF，可求出CF．

解答：解：
过C作CD⊥EF，交EF的延长线于点D，
∵BE⊥EF，且∠A=90°，
∴∠BEA+∠ABE=∠BEA+∠DEC=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
∴△CDE∽△EAB，
∴

CD

AE

=

EC

BE

，
∵E为AC中点，AC=2，
∴AE=EC=1，且AB=4，
在Rt△ABE中可求得BE=

17

，
∴

CD

1

=

1

17

，解得CD=

1

17

，
又CD∥BE，
∴

CD

BE

=

CF

BF

，
∴

1 17

17

=

CF

BF

，
∴BF=17CF，
在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，可求得BC=2

5

，
∴18CF=2

5

，解得CF=

5

9

，
故答案为：

5

9

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件构造三角形相似是解题的关键，注意勾股定理的应用．