Question

直线y=kx+2与两坐标轴所围成的三角形面积为4，求直线解析式．若k＞0时直线与x轴交点为A与y轴交点为B解答下列问题：
（1）在x轴上是否存在一点P，使S_△PAB=3？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
（2）求直线AB上是否存在一点E，使点E到x轴的距离等于1.5，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在一点G，使S_△BOG=

1

2

S_△AOB？若存在，请求出G点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：当k＞0时，设直线与x轴交点为A，与y轴交点为B，如图1，则有OB=2，然后由S_△AOB=4可得OA，从而可得点A的坐标，代入y=kx+2就可求出该直线的解析式；当k＜0时，设直线与x轴交点为C，与y轴交点为B，如图2，则有OB=2，然后由S_△COB=4可得OC，从而可得点C的坐标，代入y=kx+2就可求出该直线的解析式．
（1）由条件可求出AP的长，就可得到点P的坐标；
（2）由条件可得到点E的纵坐标，代入y=kx+2，就可得到点E的横坐标，从而解决问题；
（3）由条件可求出OG的长，从而可得到点G的坐标．

解答：解：当k＞0时，设直线与x轴交点为A，与y轴交点为B，如图1，

则点B的坐标为（0，2），OB=2，S_△AOB=

1

2

OA•OB=4，
解得：OA=4，
∴点A的坐标为（-4，0），
∴-4k+2=0，
解得：k=

1

2

，
∴直线的解析式为y=

1

2

x+2．
当k＜0时，设直线与x轴交点为C，与y轴交点为B，如图2，

则点B的坐标为（0，2），OB=2，S_△COB=

1

2

OC•OB=4，
解得：OC=4，
∴点C的坐标为（4，0），
∴4k+2=0，
解得：k=-

1

2

，
∴直线的解析式为y=-

1

2

x+2．
综上所述：所求直线解析式为y=

1

2

x+2或y=-

1

2

x+2．
（1）若在x轴上存在一点P，使S_△PAB=3，
则S_△PAB=

1

2

AP•OB=

1

2

AP×2=AP=3，
∵点A的坐标为（-4，0），
∴点P的坐标为（-1，0）或（-7，0）．

（2）若直线AB上存在一点E，使点E到x轴的距离等于1.5，
则|y_E|=1.5，
∴y_E=±1.5．
当y_E=1.5时，

1

2

x_E+2=1.5，
解得：x_E=-1，
此时点E的坐标为（-1，1.5）．
当y_E=-1.5时，

1

2

x_E+2=-1.5，
解得：x_E=-7，
此时点E的坐标为（-7，-1.5）．
综上所述：点E的坐标为（-1，1.5）或（-7，-1.5）．

（3）若在x轴上存在一点G，使S_△BOG=

1

2

S_△AOB，
则有

1

2

OG×2=

1

2

×4，
解得：OG=2，
∴点G的坐标为（-2，0）或（2，0）．

点评：本题主要考查了直线上点的坐标特征、用待定系数法求直线的解析式、线段长度与坐标之间的关系、三角形的面积等知识，需要注意的是：线段的长度确定，所对应的点的坐标可能并不唯一，要考虑全面．