Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE交边BC于点E，连结BD．

（1）求证：∠ABD＝∠CDE．

（2）若AC＝28，tanA＝2，AD：DC＝1：3，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6．

【解析】

（1）连接OD，如图，利用切线的性质得∠1+∠2=90°，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠CDE+∠2=90°，所以∠1=∠CDE，加上∠ABD=∠1，从而得到∠ABD=∠CDE；

（2）作EF⊥AC于F，如图，利用∠DEF=∠A和正切定义得到2，设EF=x，则DF=2x，再计算出AD=7，CD=21．在Rt△ABD中计算出BD=14，接着证明△CEF∽△CBD，则利用相似比得到x=6，然后利用勾股定理计算DE的长．

（1）连接OD，如图，

∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠CDE+∠2=90°，

∴∠1=∠CDE．

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠1，

∴∠ABD=∠CDE；

（2）作EF⊥AC于F，如图，

∵∠ABD=∠CDE，

∴∠DEF=∠A．

在Rt△DEF中，tan∠DEF=tanA=2，

设EF=x，则DF=2x．

∵AC=28，AD：DC=1：3，

∴AD=7，CD=21．

在Rt△ABD中，tanA2，

∴BD=2AD=14．

∵BD⊥AC，EF⊥AC，

∴EF∥BD，

∴△CEF∽△CBD，

∴，

即，

解得：x=6，

∴DF=12．

在Rt△DEF中，DE6．