【题目】在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
(1)求函数y=x+2的图像上所有“中国结”的坐标;
(2)求函数y=(k≠0,k为常数)的图像上有且只有两个“中国结”,试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标;
(3)若二次函数y=(k为常数)的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”,试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”?
【答案】(1)(0,2);(2)当k=1时,对应“中国结”为(1,1)(-1,-1);当k=-1时,对应“中国结”为(1,-1),(-1,1);(3)6个.
【解析】
试题(1)因为x是整数,x≠0时,x是一个无理数,所以x≠0时,x+2不是整数,所以x=0,y=2,据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可.
(2)首先判断出当k=1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,1)、(﹣1、﹣1);然后判断出当k≠1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上最少有4个“中国结”,据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可.
(3)首先令(k2﹣3k+2)x2+(2k2﹣4k+1)x+k2﹣k=0,则[(k﹣1)x+k][(k﹣2)x+(k﹣1)]=0,求出x1、x2的值是多少;然后根据x1、x2的值是整数,求出k的值是多少;最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”,判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”即可.
试题解析:(1)∵x是整数,x≠0时,x是一个无理数,
∴x≠0时,x+2不是整数,
∴x=0,y=2,
即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是(0,2).
(2)①当k=1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:
(1,1)、(﹣1、﹣1);
②当k=﹣1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:
(1,﹣1)、(﹣1,1).
③当k≠±1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上最少有4个“中国结”:
(1,k)、(﹣1,﹣k)、(k,1)、(﹣k,﹣1),这与函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”矛盾,
综上可得,k=1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,1)、(﹣1、﹣1);
k=﹣1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,﹣1)、(﹣1、1).
(3)令(k2﹣3k+2)x2+(2k2﹣4k+1)x+k2﹣k=0,
则[(k﹣1)x+k][(k﹣2)x+(k﹣1)]=0,
∴
∴,
整理,可得
x1x2+2x2+1=0,
∴x2(x1+2)=﹣1,
∵x1、x2都是整数,
∴或
∴或
①当时,
∵,
∴k=;
②当时,
∵,
∴k=k﹣1,无解;
综上,可得
k=,x1=﹣3,x2=1,
y=(k2﹣3k+2)x2+(2k2﹣4k+1)x+k2﹣k
=[()2﹣3×+2]x2+[2×()2﹣4×+1]x+()2﹣
=﹣x2﹣x+
①当x=﹣2时,
y=﹣x2﹣x+=﹣×(﹣2)2﹣×(﹣2)+
=
②当x=﹣1时,
y=﹣x2﹣x+
=﹣×(﹣1)2﹣×(﹣1)+
=1
③当x=0时,y=,
另外,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个:
(﹣2,0)、(﹣1、0)、(0,0).
综上,可得
若二次函数y=(k2﹣3k+2)x2+(2k2﹣4k+1)x+k2﹣k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”,
该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有6个“中国结”:(﹣3,0)、(﹣2,0)、(﹣1,0)(﹣1,1)、(0,0)、(1,0).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点F,过点C作CE∥AB,与过点A的切线相交于点E,连接AD.
(1)求证:AD=AE.
(2)若AB=10,sin∠DAC=求AD的长.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2﹣x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=﹣x+3经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B,C重合),则△PBC的面积能够等于△BOC的面积吗?若能,求出相应的点P的坐标;若不能,请说明理由;
(3)如图2,现把△BOC平移至如图所示的位置,此时三角形水平方向一边的两个端点点O′与点B′都在抛物线上,称点O′和点B′为△BOC在抛物线上的一“卡点对”;如果把△BOC旋转一定角度,使得其余边位于水平方向然后平移,能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”.请直接写出△BOC在已知抛物线上所有“卡点对”的坐标.
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【题目】定义:一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”
如图1,四边形ABCD中,AB=BC,∠B+∠D=180°(或∠A+∠C=180°),则四边形ABCD叫做“邻等对补四边形”.
概念理解
(1)在以下四种图形中:①平行四边形,②菱形,③矩形,④正方形;一定是“邻等对补四边形”的是 ;(填写序号)
(2)如图2,点A、B、C是网格中格点,请找出两个格点P1,P2,连接P1A、P1C,P2A、P2C画出四边形P1ABC,P2ABC,使四边形P1ABC,P2ABC均为“邻等对补四边形”.
性质证明
(3)如图1,四边形ABCD中,AB=BC,∠A+∠C=180°,连接BD,求证:BD平分∠ADC.
知识运用
(4)如图3,在“邻等对补四边形”ABCD中,满足AB=AD,AB+BC=6,∠ADC=60°时,若2≤BC<3,求四边形ABCD的面积的最大值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,并经过B(4,4)和C(6,0)两点,点D的坐标为(4,0),连接AD,BC,点F从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OC方向运动,到达点C后停止运动:点M同时从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当点F停止时点M也停止运动.设点F的运动时间为t秒,过点F作AB的垂线EF交直线AB于点E,交AD于点H.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以线段EH为斜边向右作等腰直角△EHG,当点G落在第一象限内的抛物线上时,求出t的值;
(3)设△EFM与四边形ADCB重合时的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围.
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【题目】如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.
(1)求港口A到海岛B的距离;
(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A,B两点,点B在点A的右侧,直角顶点A(0,3).
(1)求b,c的值.
(2)P是AB上方抛物线上的一点,作PQ⊥AB交OB于点Q,连接AP,是否存在点P,使四边形APQO是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在数学课上,老师提出利用尺规作图完成下面问题:已知:△ABC是⊙O的内接三角形.求作:△ABC中∠BAC的平分线.
小明的作法如下:
(1)作BC边的垂直平分线DE,交BC于点D,交弧BC于点E;
(2)连接AE,交BC边于点F;则线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线.根据小明设计的尺规作图过程,
①在图中补全图形(尺规作图,保留作图痕迹);
②完成下面的证明.
证明:∵OB=OC,DE是线段BC的垂直平分线
∴圆心O在直线DE上( ).
∵DE⊥BC,
∴( ).
∴∠BAE=∠CAE( ),
∴线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线.
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【题目】如图,在锐角△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D作⊙O的切线DE交边BC于点E,连结BD.
(1)求证:∠ABD=∠CDE.
(2)若AC=28,tanA=2,AD:DC=1:3,求DE的长.
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