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【题目】在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为中国结

1)求函数y=x+2的图像上所有中国结的坐标;

2)求函数y=k≠0k为常数)的图像上有且只有两个中国结,试求出常数k的值与相应中国结的坐标;

3)若二次函数y=k为常数)的图像与x轴相交得到两个不同的中国结,试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个中国结

【答案】1)(0,2);(2)当k=1时,对应中国结为(1,1)(-1,-1);当k=1时,对应中国结为(1,-1),(-1,1);(36.

【解析】

试题(1)因为x是整数,x≠0时,x是一个无理数,所以x≠0时,x+2不是整数,所以x=0y=2,据此求出函数y=x+2的图象上所有中国结的坐标即可.

2)首先判断出当k=1时,函数y=k≠0k为常数)的图象上有且只有两个中国结:(11)、(﹣1﹣1);然后判断出当k≠1时,函数y=k≠0k为常数)的图象上最少有4中国结,据此求出常数k的值与相应中国结的坐标即可.

3)首先令(k2﹣3k+2x2+2k2﹣4k+1x+k2﹣k=0,则[k﹣1x+k][k﹣2x+k﹣1]=0,求出x1x2的值是多少;然后根据x1x2的值是整数,求出k的值是多少;最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为中国结,判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个中国结即可.

试题解析:(1∵x是整数,x≠0时,x是一个无理数,

∴x≠0时,x+2不是整数,

∴x=0y=2

即函数y=x+2的图象上中国结的坐标是(02).

2k=1时,函数y=k≠0k为常数)的图象上有且只有两个中国结

11)、(﹣1﹣1);

k=﹣1时,函数y=k≠0k为常数)的图象上有且只有两个中国结

1﹣1)、(﹣11).

k≠±1时,函数y=k≠0k为常数)的图象上最少有4中国结

1k)、(﹣1﹣k)、(k1)、(﹣k﹣1),这与函数y=k≠0k为常数)的图象上有且只有两个中国结矛盾,

综上可得,k=1时,函数y=k≠0k为常数)的图象上有且只有两个中国结:(11)、(﹣1﹣1);

k=﹣1时,函数y=k≠0k为常数)的图象上有且只有两个中国结:(1﹣1)、(﹣11).

3)令(k2﹣3k+2x2+2k2﹣4k+1x+k2﹣k=0

[k﹣1x+k][k﹣2x+k﹣1]=0

整理,可得

x1x2+2x2+1=0

∴x2x1+2=﹣1

∵x1x2都是整数,

时,

∴k=

时,

∴k=k﹣1,无解;

综上,可得

k=x1=﹣3x2=1

y=k2﹣3k+2x2+2k2﹣4k+1x+k2﹣k

=[()2﹣3×+2]x2+[2×2﹣4×+1]x+2

=﹣x2x+

x=﹣2时,

y=﹣x2x+=﹣×﹣22×﹣2+

=

x=﹣1时,

y=﹣x2x+

=﹣×﹣12×﹣1+

=1

x=0时,y=

另外,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的中国结3个:

﹣20)、(﹣10)、(00).

综上,可得

若二次函数y=k2﹣3k+2x2+2k2﹣4k+1x+k2﹣kk为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的中国结

该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有6中国结:(﹣30)、(﹣20)、(﹣10)(﹣11)、(00)、(10).

练习册系列答案
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概念理解

1)在以下四种图形中:平行四边形,菱形,矩形,正方形;一定是“邻等对补四边形”的是   ;(填写序号)

2)如图2,点ABC是网格中格点,请找出两个格点P1P2,连接P1AP1CP2AP2C画出四边形P1ABCP2ABC,使四边形P1ABCP2ABC均为“邻等对补四边形”.

性质证明

3)如图1,四边形ABCD中,ABBC,∠A+C180°,连接BD,求证:BD平分∠ADC

知识运用

4)如图3,在“邻等对补四边形”ABCD中,满足ABADAB+BC6,∠ADC60°时,若2BC3,求四边形ABCD的面积的最大值.

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1)求抛物线的解析式;

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3)设EFM与四边形ADCB重合时的面积为S,请直接写出St的函数关系式与相应的自变量t的取值范围.

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①在图中补全图形(尺规作图,保留作图痕迹);

②完成下面的证明.

证明:∵OBOCDE是线段BC的垂直平分线

∴圆心O在直线DE上(   ).

DEBC

   ).

∴∠BAE=∠CAE   ),

∴线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线.

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