Question

12．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交A（-1、0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1、0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c，转化为解方程组即可．
（2）讨论：当以AB为对角线，利用N₁A=N₁B和四边形AN₁BM₁为平行四边形得到四边形AN₁BM₁为菱形，则点M₁也在对称轴上，即M₁点为抛物线的顶点，所以M点坐标为（-1，-4）；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到MN=AB=4，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标

解答 解：（1）把A（-1、0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3．

（2）存在．点M的坐标为（1，-4）、（-3，12）、（5，12），
当以AB为对角线，
∵四边形AM₁BN₁为平行四边形，
而N₁A=N₁B，
∴四边形AN₁BM₁为菱形，
∴AB与M₁N₁互相垂直平分，
∴点M₁也在对称轴上，即M₁点为抛物线的顶点，
∴M₁点坐标为（1，-4）；
当以AB为边时，
∵四边形AM₂N₂B为平行四边形，
∴M₂N₂=AB=4，即M₂N₂=4，
∴M₂的横坐标为-3，
当x=-3时，y=9+6-3=12，
同理当四边形AN₃M₃B是平行四边形时，可得点M₃的横坐标为5，
当x=5时，y=25-10-3=12，
∴M₂（-3，12），M₃（5，12）．
综上所述，点M的坐标为（1，-4）或（-3，12）或（5，12）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法．平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考压轴题．