Question

如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P=

 

°；
（2）若∠A=90°，则∠P=

 

°；
（3）若∠A=100°，则∠P=

 

°；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．
（2）（3）和（1）的解题步骤相似．
（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=

1

2

（∠A+∠ABC），∠CBP=

1

2

（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
∴∠PBC=

1

2

∠DBC，∠PCB=

1

2

∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

(∠DBC+∠ECB)=115°，
∴∠P=65°．
同理得：（2）45°；
（3）40°
（4）∠P=90°-

1

2

∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+

1

2

∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°-

1

2

∠A．

点评：本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．