Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）若点P在第四象限，连结PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？

（4）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（4，5）；（3）当t＝时，S有最大值；（4）存在，理由，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）

【解析】

（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），即可求解；

（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝3，故t＝4，则点P（4，5）；

（3）△PAE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），即可求解；

（4）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°两种情况，分别求解即可．

解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，

故点E（3，0），

抛物线表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝4，

故t＝4，则点P（4，5）；

（3）过点C作y轴的平行线交AE于点H，

由点A、E的坐标得直线AE的表达式为：y＝x﹣3，

设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），

△PAE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），

当t＝时，S有最大值；

（4）直线AE表达式中的k值为1，则与之垂直的直线表达式中的k为﹣1．

①当∠PEA＝90°时，

直线PE的表达式为：y＝﹣x+b，经点E的坐标代入并解得：

直线PE的表达式为：y＝﹣x+3…②，

联立①②并解得：x＝﹣2或3（舍去3），

故点P（﹣2，5）；

②当∠PAE＝90°时，

同理可得：点P（1，﹣4）；

综上，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）．