【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)试探究t为何值时,△BPQ的面积是cm2;
(3)直接写出t为何值时,△BPQ是等腰三角形;
(4)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接写出t的值.
【答案】(1)t=1,t=;(2)t1=或t2=;(3) 当t=或或时,△BPQ是等腰三角形;(4)t=
【解析】
(1)由勾股定理可求AB的长,分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解;
(2)过点P作PE⊥BC于E,由平行线分线段成比例可得PE=3t,由三角形的面积公式列出方程可求解;
(3)分三种情况讨论,由等腰三角形的性质可求解;
(4)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,根据△ACQ∽△CMP,得出AC:CM=CQ:MP,代入计算即可.
(1)∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,
∴AB===10cm,
∵△BPQ与△ABC相似,且∠B=∠B,
∴或,
当时,
∴,
∴t=1,
当,
∴,
∴t=;
(2)如图1,过点P作PE⊥BC于E,
∴PE∥AC,
∴,
∴PE==3t,.
∴S△BPQ=×(8﹣4t)×3t=,
∴t1=或t2=;
(3)①当PB=PQ时,如图1,过P作PE⊥BQ,
则BE=BQ=4﹣2t,PB=5t,
由(2)可知PE=3t,
∴BE===4t,
∴4t=4﹣2t,
∴t=
②当PB=BQ时,即5t=8﹣4t,
解得:t=,
③当BQ=PQ时,如图2,过Q作QG⊥AB于G,
则BG=PB=t,BQ=8﹣4t,
∵△BGQ∽△ACB,
∴,
∴
解得:t=.
综上所述:当t=或或时,△BPQ是等腰三角形;
(4)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图3所示:则PB=5t,
∵AC⊥BC
∴△PMB∽△ACB,
∴=
∴BM=4t,PM=3t,且BQ=8﹣4t,BC=8,
∴MC=8﹣4t,CQ=4t,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM,
∵∠ACQ=∠PMC,
∴△ACQ∽△CMP,
∴,
∴
∴t=
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为2:3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由.
(3)若M为抛物线对称轴上一动点,使得△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.
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【题目】某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低1元,其日销量可增加8件.设该商品每件降价x元,商场一天可通过A商品获利润y元.
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围)
(2)A商品销售单价为多少时,该商场每天通过A商品所获的利润最大?
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【题目】泉州市旅游资源丰富,①清源山、②开元寺、③崇武古城三个景区是人们节假日玩的热点景区,张老师对八(1)班学生“五·一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查,调查分四个类别:A、游三个景区;B,游两个景区;C,游一个景区:D,不到这三个景区游玩现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和廟形统计图,请结合图中信息解答下列问题:
(1)八(1)班共有学生 人在扇形统计图中,表示“B类别的扇形的圆心角的度数为 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若小华、小刚两名同学,各自从三个最区中随机选一个作为5月1日游玩的景区,请用树状图或列表法求他们选中同个景区的概率.
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【题目】如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标为x1、x2,其中﹣2<x1<﹣1、0<x2<1下列结论:①4a﹣2b+c<0②2a﹣b<0③abc>0④b2+8a>4ac正确的结论是_____.
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【题目】已知关于x的一元二次方程.
(1)证明该方程一定有两个不相等的实数根;
(2)设该方程两根为x1、x2(x1<x2).
①当时,试确定y值的范围;
②如图,平面直角坐标系中有三点A、B、C,坐标分别为(x1,0)、(x2,3)、(7,0).以点C为圆心,2个单位长度为半径的圆与直线AB相切,求n的值.
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【题目】实践与探究
在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图(1),当点D落在BC边上时,求点D的坐标;
(2)如图(2),当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.
①求证:ΔADB≌ΔAOB;
②求点H的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点、,抛物线经过、两点,且对称轴为直线.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果点是这抛物线上位于轴下方的一点,且△的面积是.求点的坐标.
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