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【题目】如图,RtABC中,∠ACB90°AC6cmBC8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ

1)若BPQABC相似,求t的值;

2)试探究t为何值时,BPQ的面积是cm2

3)直接写出t为何值时,BPQ是等腰三角形;

4)连接AQCP,若AQCP,直接写出t的值.

【答案】1t=1,t;(2t1t2;(3 t时,BPQ是等腰三角形;(4t

【解析】

1)由勾股定理可求AB的长,分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解;

2)过点PPEBCE,由平行线分线段成比例可得PE=3t,由三角形的面积公式列出方程可求解;

3)分三种情况讨论,由等腰三角形的性质可求解;

4)过PPMBC于点MAQCP交于点N,则有PB=5tPM=3tMC=8-4t,根据ACQ∽△CMP,得出ACCM=CQMP,代入计算即可.

1)∵∠ACB90°AC6cmBC8cm

AB10cm

∵△BPQABC相似,且∠B=∠B

时,

t1

t

2)如图1,过点PPEBCE

PEAC

PE3t.

SBPQ×84t×3t

t1t2

3)①当PBPQ时,如图1,过PPEBQ

BEBQ42tPB5t

由(2)可知PE3t

BE4t

4t42t

t

②当PBBQ时,即5t84t

解得:t

③当BQPQ时,如图2,过QQGABG

BGPBtBQ84t

∵△BGQ∽△ACB

解得:t

综上所述:当t时,BPQ是等腰三角形;

4)过PPMBC于点MAQCP交于点N,如图3所示:则PB5t

ACBC

∴△PMB∽△ACB

BM4tPM3t,且BQ84tBC8

MC84tCQ4t

∵∠NAC+NCA90°,∠PCM+NCA90°

∴∠NAC=∠PCM

∵∠ACQ=∠PMC

∴△ACQ∽△CMP

t

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