Question

【题目】实践与探究

在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D,E，F.

(1)如图(1)，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；

(2)如图(2)，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.

①求证：ΔADB≌ΔAOB；

②求点H的坐标.

Answer 1

【答案】(1)D(1，3)；(2)①证明见解析；②H(，3).

【解析】

（1）如图①，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出CD，即可解决问题；
（2）①根据旋转可知，OA=DA，则根据HL证明全等即可；
②先证明△BDH≌△ACH，得DH=CH，设CH=x，则AH =5-x，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出x即可解决问题；

解：(1)∵A(5,0)，B(0,3)，

∴OA=5，OB=3，

∵四边形AOBC是矩形，

∴OB=AC=3，OA=BC=5 ∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，

∴AD=OA=5 .

在RtΔACD中

CD= ，

∴BD=1，

∴D(1，3) .

(2)①由旋转可知：

OA=DA，∠AOB=∠ADE=90°，

∴∠AOB=∠ADB=90°，

在Rt△AOB与Rt△ADB中

，

∴△ADB≌△AOB(HL)；

②∵△ADB≌△AOB(HL)，

∴BD=BO=AC ，

在△BDH与△ACH中

，

∴△BDH≌△ACH(AAS)，

∴DH=CH，

∵DH+AH=AD=5，

∴CH+AH=5，

设CH=，则AH=，

在Rt△ACH中

，

解得：，

∴BH=，

∴H(,3).