Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
（3）在原有条件的基础上再添加一个条件，使得四边形ADCF是矩形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,菱形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）根据条件证明△AEF≌△DEB可得到AF=BD，再中线的性质可得到AF=DC；
（2）结合（1）可判定四边形ADCF为平行四边形，再结合直角三角形的性质可得AD=CD，可判定出四边形ADCF为菱形；
（3）可添加AC=BC，利用等腰三角形的性质可证明AD⊥CD，可得到四边形ADCF为矩形．

解答：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中

∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE

，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
又AD为中线，
∴BD=CD，
∴AF=CD；

（2）解：是菱形，证明如下：
由（1）可知AF=CD，且AF∥CD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AB⊥AC，且AD为BC边上的中线，
∴AD=CD，
∴四边形ADCF为菱形；

（3）解：可添加AC=BC，
由（2）可知四边形ADCF为平行四边形，
当AC=BC时，∵AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．

点评：本题主要考查特殊四边形的判定，掌握平行四边形、矩形、菱形的判定方法是解题的关键，注意区别这几种四边形的判定方法．