Question

如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线y=ax²+x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；

（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

  解：（1）对于直线y=﹣x+3，

当y=0时，0=﹣x+3，即x=4，

∴A（4，0），

当x=0时，y=3，即B（0，3），

把A与B坐标代入y=ax²+x+c中，得：，

解得：，

则抛物线解析式为y=﹣x²+x+3；″

（2）设M坐标为（x，﹣x²+x+3），

①当∠MBA=90°时，如图1，作MN⊥y轴，则有∠MNO=90°，

∴∠NMB+∠MBN=90°，

∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°，

∴∠MBN+∠ABO=90°，

∴∠NMB=∠ABO，

∵∠MNO=∠BOA，

∴△MNB∽△BOA，

∴=，

即=，

解得：x=或x=0（舍去），

当x=时，y=，即M（，）；

②当∠BAM′=90°时，易知△AM′N′∽△BAO，∴，

即，解得x=﹣或4（舍去），当x=﹣时，y=﹣，

即M′（﹣，﹣），

则满足条件M的坐标为（，）或（﹣，﹣）；

（3）如图2所示，当D点运动到x轴上时，易知△AD′E′∽△ABO，

∴，∴AE′=，∴EE′=AB﹣BE﹣AE′=5﹣2﹣=，

∴当0≤t≤时，S=2；

当≤t≤3时，S=﹣t²+t+；  

当3≤t≤5时，S=t²﹣t+．