Question

【题目】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB．BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE；④用同样的方法作射线CF．BE交CF于点O．

请根据作图回答下列问题：

（1）O是△ABC的　 ；

A．外心 B．内心 C．重心

（2）若AB＝5，AC＝12，BC＝13，求O到BC的距离．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）OP＝2．

【解析】

（1）根据三角形的内心的定义即可判断；（2）过O点作OP⊥AB，OQ⊥AC，OK⊥BC，垂足分别为P，Q，K.利用勾股定理的逆定理证明∠BAC=90°，再证明四边形APOQ是正方形即可.

解：（1）由作图可知，点O是△ABC的角平分线的交点，所以点O是△ABC的内心．

故答案为B．

（2）如图：过O点作OP⊥AB，OQ⊥AC，OK⊥BC，垂足分别为P，Q，K．

∵O是△ABC的内心

∴OP＝OQ＝OK

又∵AB＝5，AC＝12，BC＝13

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是Rt△

∴∠BAC＝90°，

∴四边形OPAQ是正方形．

∴OP＝OQ＝OK＝（5+12﹣13）＝2．