Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE， DE．

（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；

（2）若tan∠AED＝，求AE的长；

（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，

①当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值；

②延长DF交半圆弧于点G，若弧AG＝弧EG，AG∥DE，直接写出DE的长　 　．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）（3）①②

【解析】

（1）因为点E是弧BC的中点，连接OE，BE，利用45°构造直角三角形，利用△AEB的射影定理结论建立方程即可．
（2）条件中有三角函数，所以作DF⊥AE构造直角三角形，接着出现平行相似，利用AD与AB之比，表示AF，用△AFD建立勾股关系方程．
（3）①分别以D、E、F为直角端点分类讨论，用K型全等和射影定理结论建立方程求解．
②需要导角证明△BDE为等腰三角形，用勾股定理求出AG，用△AOG～△DEB求出DE

解：（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，EB

设DH＝a，则HB＝2﹣a，OH＝2+a

∵点E是弧BC中点

∴∠COE＝∠EOH＝45°

∴EH＝OH＝2+a

在Rt△AEB中，EH2＝AHBH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝

∴a＝，

S△ADE＝

（2）如图，作DF⊥AE，垂足为F，连接BE

设EF＝2x，DF＝3x

∵DF∥BE

∴

∴ ＝3

∴AF＝6x

在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2

（6x）2+（3x）2＝（6）2

解得x＝

AE＝8x＝.

（3）①I.当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH＝a

可证△ODF≌△EDH

∴OD＝EH＝2

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH

22＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝，a=(不合题意舍去)

∴DH=， m＝OH =

II.当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

可证△EFG≌△EDH

设DH＝a，则GE＝a，EH＝CG＝2+a

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝，a=(不合题意舍去)

∴DH=， m＝OH =

III.当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

可证△EFM≌△ODF

设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2

∴EH＝a+2，

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH，

（a+2）2＝（4+a）（4﹣a），

解得a＝，a=（不合题意舍去），

m＝；

综上所述：m的值为或或.

②可证△BDE为等腰三角形，

BD＝BE＝2，

∵△AOF～△ABE，

∴OF＝1，

在Rt△OFA中，由勾股定理可得AF＝，

GF＝3，

勾股定理可得AG＝，

∵△AOG～△DEB

∴，

∴DE＝