Question

已知：如图所示（每个小正方形的边长为1），
（1）求△ABC的面积，并求出它的AC边上高的长度；
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并求出该最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式求出△ABC的面积，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）找出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，根据轴对称确定最短路线问题，A′C与直线l的交点即为所求的点P，最短距离为A′C的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：（1）△ABC的面积=3×4-

1

2

×1×2-

1

2

×2×3-

1

2

×2×4，
=12-1-3-4，
=12-8，
=4，
由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
设AC边上高的长度为h，
则

1

2

×2

5

h=4，
解得h=

4 5

5

．
所以，AC边上高的长度为

4 5

5

；

（2）点P如图所示，由勾股定理得，PA+PC最小值=

62+42

=2

15

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，三角形的面积，勾股定理，熟记最短距离的确定方法是解题的关键．