Question

【题目】如图，已知二次函数的图象经过点．

（1）求的值和图象的顶点坐标；

（2）点在该二次函数图象上．

①当时，求的值；

②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围；

③直接写出点与直线的距离小于时的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），图象的顶点坐标为；（2）①当时，；②；③．

【解析】

（1）根据待定系数法，即可求出a的值，把二次函数解析式，化为顶点式，即可得到顶点坐标；

（2）①把代入二次函数解析式，即可；②设直线x=-2和直线x=2与抛物线的交点为A，B，可得：A(-2，3)，B(2，11)，进而即可求解；③设直线交x轴，y轴于点D，C，过点Q作QM⊥CD于点M，过点Q作QN∥y轴，交CD于点N，可得QNM是等腰直角三角形，当QM=时，则QN=2，设，N(m，m+5)，列出关于m的方程，求出m的值，进而即可得到结论．

（1）把代入中，得：

，

∴，

∴图象的顶点坐标为；

（2）①在该二次函数图象上，

∴当时，；

②设直线x=-2和直线x=2与抛物线的交点为A，B，如图，

把x=2或x=-2，代入，得y=11或3，

∴A(-2，3)，B(2，11)，

当点到轴的距离小于2时，点Q在A，B之间的抛物线上（不包含A，B），

；

③设直线交x轴，y轴于点D，C，则D(-5，0)，C(0，5)，

∴OC=OD，∠DCO=45°，

过点Q作QM⊥CD于点M，过点Q作QN∥y轴，交CD于点N，

∴∠QNM=∠DCO=45°，

∴QNM是等腰直角三角形，当QM=时，则QN=2，

在该二次函数图象上，点N在直线上，

∴设，N(m，m+5)，

∴，化简得：或，

解得：，

∴点与直线的距离小于时的取值范围为：．