Question

5+10=15，5+14=19，7+10=17，7+14=21．是否每一个质数分别加上10，14后，所得结果至少有一个数是合数？你的结论是

 

，理由是

 

．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：因为质数的分布无一定规律，因此从最小的质数试验起，然后再加以逻辑证明．

解答：解：∵2+10=12，2+14=16，
∴质数2适合；
∵3+10=13，3+14=17，
∴质数3不适合；
∵5+10=15，5+14=19，
∴质数5合适；
∵7+10=17，7+14=21，
∴质数7适合；
∵11+10=21，11+14=25，
∴质数11适合；
…
把正整数按模3同余分类．即：3k-1，3k+1（k为正整数）．
∵（3k-1）+10=3k+9=3（k+3）是合数，（3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合数，
∴3k-1和3k+1这两类整数中的质数加上10和14后不能都是质数，
∴在3k-1和3k+1两类整数中的质数加上10和14后至少有一个数是合数．
对于3k这类整数，只有在k=1时，3k才是质数，其余均为合数．
∴除了3外的质数，加上10，14后，所得结果至少有一个数是合数．
故答案为：不是，质数3加上10，14后，所得结果仍是质数．

点评：本题主要考查了质数与合数，解题的关键是把正整数按模3同余分类证明．