Question

【题目】已知抛物线 和直线y＝（k+1）x+（k+1）2．

（1）求证：无论k取何值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）如果抛物线与x轴的交点A，B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D，E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CAGE＝CGAB，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝x2﹣4x+3．

【解析】

（1）求出根的判别式并化为完全平方形式，利用一元二次方程的根的判别式大于0确定出抛物线与x轴的交点坐标有两个；

（2）由CAGE=CGAB得出△CAG∽△CBE，进而判断出△OAD∽△OBE得出OA：OB=OD：OE，抛物线与x轴交点是AB两点，根据根与系数的关系可得OAOB＝．根据图象与y轴交点可得：OD＝，OE＝（k+1）2，从而求得OB＝k+1，进而代入抛物线解析式求出k值即可.

解：（1）证明：∵△＝（k+2）2﹣4×1×＝k2﹣k+2＝，

∵，

∴△＞0，

故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）∵CAGE＝CGAB，

∴CA：CB＝CG：CE，

∵∠ACG＝∠BCE，

∴△CAG∽△CBE，

∴∠CAG＝∠CBE，

∵∠AOD＝∠BOE，

∴△OAD∽△OBE，

∴OA：OB＝OD：OE，

∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，

直线与x轴的交点C在原点的左边，

又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，

∴OAOB＝，OD＝，OE＝（k+1）2，

∴OAOB＝OD，由OA：OB＝OD：OE

∴OA：OB＝（OAOB）：OE，

∴OB2＝OE，

∴OB＝k+1，

∴点B（k+1，0），

将点B代入抛物线y＝x2﹣（k+2）x+得：

（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣＝0，

解得：k＝2，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3．