Question

【题目】抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求顶点D的坐标；

（2）求直线BC的解析式；

（3）求△BCD的面积；

（4）当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（1，4）；（2）y＝﹣x+3；（3）3；（4）存在，点P（，）．

【解析】

（1）函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4，即可求解；

（2）点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入一次函数表达式即可求解；

（3）△BCD的面积＝×DG×OB，即可求解；

（4）则S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3），即可求解．

解：（1）函数的对称轴为：x＝1，

当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4，

故点D（1，4）；

（2）y＝﹣x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

则点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得： ，解得： ，

故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；

（3）过点D作DG∥y轴交BC于点G，则点G（1，2），

△BCD的面积＝×DG×OB＝（4﹣2）×3＝3；

（4）过点P作y轴的平行线交BC于点H，

设点P（x，﹣x2+2x+3），点H（x，﹣x+3），

则S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x（x﹣3），

∵，

∴S△PBC有最大值，最大值为：，

此时点P（，）．