Question

16．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，试用含b，c，α的式子表示?ABCD的面积．

Answer 1

分析 根据正弦函数，可得DE的长，根据三角形的面积公式，可得S_△ADC，根据全等三角形的性质，可得答案．

解答 解：如图，作DE⊥AC于E．

由?ABCD中，得
OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{b}{2}$，AB=CD，AD=BC．
由正弦函数，得
DE=OD•sinα=$\frac{b}{2}$•sinα．
由三角形的面积，得
S_△ADC=$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{1}{2}$a•$\frac{b}{2}$sinα=$\frac{ab}{4}$sinα．
在△ADC和△CBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DC=AB}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
S_△ABC=S_△ADC=$\frac{ab}{4}$sinα，
S_{平行四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=$\frac{ab}{2}$sinα．

点评 本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的对角线分的两个三角形全等是解题关键．