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【题目】已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,AB=AD+2BE,则下列结论:①AE=(AB+AD);②∠DAB+∠DCB=180;③CD=CB;④S S =S.其中正确结论的是_________________________.

【答案】①、②、③、④

【解析】

AE取点F,使EF=BE.利用已知条件AB=AD+2BE,可得AD=AF,进而证出AE=AB+AD);

②在AB上取点F,使BE=EF,连接CF.先由SAS证明△ACD≌△ACF,得出∠ADC=AFC;再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=B;然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+DCB=180°;

③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF,根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB,从而CD=CB

④由于△CEF≌△CEB,△ACD≌△ACF,根据全等三角形的面积相等易证SACE-SBCE=SADC

①在AE取点F,使EF=BE.

AB=AD+2BE=AF+EF+BEEF=BE

AB=AD+2BE=AF+2BE

AD=AF

AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE

AE=(AB+AD),故①正确;

②在AB上取点F,使BE=EF,连接CF.

在△ACD与△ACF中,∵AD=AF,∠DAC=FACAC=AC

∴△ACD≌△ACF

∴∠ADC=AFC.

CE垂直平分BF

CF=CB

∴∠CFB=B.

又∵∠AFC+CFB=180

∴∠ADC+B=180

∴∠DAB+DCB=360(ADC+B)=180,故②正确;

③由②知,ACD≌△ACF,∴CD=CF

又∵CF=CB

CD=CB,故③正确;

④易证△CEF≌△CEB

SACESBCE=SACESFCE=SACF

又∵△ACD≌△ACF

SACF=SADC

SACESBCE=SADC,故④正确

故答案为:①、②、③、④

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