[题目]已知四边形ABCD是正方形.点P在直线BC上.点G在直线AD上(P.G不与正方形顶点重合.且在CD的同侧).PD=PG.DF⊥PG于点H.交直线AB于点F.将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE.连结EF．(1)如图1.当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证:DF=PG,②若AB=3.PC=1.求四边形PEFD 的面积,(2)如图2.当点P与点G分别在线段BC与线段AD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．

（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．

①求证：DF=PG；

②若AB=3，PC=1，求四边形PEFD 的面积；

（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【答案】（1）①详见解析；②8；（2）（2）四边形PEFD是菱形，证明详见解析

【解析】

（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD ，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；

②先判断四边形PEFD是菱形，然后求出PG=DP=，过点P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形，则△DHG∽△PMG，根据相似三角形的性质，即可求出答案；

（2）根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形．

解：（1）①证明 ∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，

∵ PD=PG ，

∴∠PGD=∠PDG，

∴∠ADF=∠CDP，

∴△ADF≌△CDP（ASA），

∴DF=DP，

∵ PD=PG，

∴DF=PG；

②∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE

∴∠GPE=∠DHG=90°， PG=PE=DF= PD

∴PE∥DF

∴四边形PEFD是菱形

在Rt△DCP中，AD=AB=3，PC=1，PG=DP=

过点P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形

∴DM=MG=PC=1，DG=2DM=2，

∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM

∴△DHG∽△PMG

∴ 即

∴GH=， PH=PG-GH=

由（1）DF=DP=

∴四边形PEFD的面积是=×=8 ；

（2）四边形PEFD是菱形；

作PM⊥DG于M，如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，

∵四边形ABPM为矩形，

∴AB=PM，

∴AD=PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠GDH+∠DGH=90°，

∵∠MGP+∠MPG=90°，

∴∠GDH=∠MPG，

在△ADF和△MPG中

，

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF=PG，而PD=PG，

∴DF=PD，

∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，

∴∠EPG=90°，PE=PG，

∴PE=PD=DF而DF⊥PG，

∴DF∥PE，且DF =PE，

∴四边形PEFD为平行四边形，

∵DF=PD，

∴四边形PEFD为菱形．

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分档	户年用水量（立方米）	自来水价格（元/立方米）	污水处理费（元/立方米）
第一阶梯	0-220（含220）	1.92	1.70
第二阶梯	220-300（含300）	3.30	1.70
第三阶梯	300以上	4.30	1.70
注：1．应缴纳水费 = 自来水费总额 + 污水处理费总额 2．应缴纳污水处理费总额 = 用水量×污水处理费× 0.9