Question

9．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD=∠AEB．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，得到∠E=∠ABD，根据圆周角定理证明．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE=∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠FDE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB=∠ABC，
∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，
又∠CAE=∠DBC，
∴∠E=∠ABD，
∴∠ACD=∠AEB．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．