Question

1．为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，A纪念品的数量不少于50个，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意得出关于m和n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品x件，根据题意列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组得出x的取值范围，即可得出结论；
（3）找出总利润关于购买A种纪念品x件的函数关系式，由函数的单调性确定总利润取最值时x的值，从而得出结论．

解答 解：（1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意可知：
$\left\{\begin{array}{l}{8m+3n=950}\\{5m+6n=800}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=100}\\{n=50}\end{array}\right.$．
答：购进A种纪念品每件需要100元，B种纪念品每件需要50元．
（2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品100-x件，根据题意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥50}\\{100x+50（100-x）≤7650}\end{array}\right.$，解得：50≤x≤53．
故该商店共有4种进货方案：A种50件，B种50件；A种51件，B种49件；A种52件，B种48件；A种53件，B种47件．
（3）销售总利润为20x+30（100-x）=3000-10x．
由总利润是关于x单调递减的函数可知：
当x=50时，获得利润最大，最大利润=3000-10×50=2500（元）．
答：当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，获得的利润最大，最大利润是2500元．

点评 本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）列出关于两种纪念品单价的二元一次方程组；（2）列出关于购买A种纪念品件数x的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题．