Question

16．矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为点D′，直线D′E交AB边于点F，如果DE=x，D′F=y．
（1）求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，求此时DE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，过F作FG⊥CD于G，得到四边形BFGC是矩形，根据矩形的性质得到FG=BC=AD=5，∠FGE=∠CGF=90°，根据折叠的性质得到AD′AD=5，∠AD′E=ADE=90°，推出△AD′F≌△EFG，根据全等三角形的性质得到AF=EF=x+y，GE=D′F=y，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．

解答 解：（1）如图1，过F作FG⊥CD于G，
∴四边形BFGC是矩形，
∴FG=BC=AD=5，∠FGE=∠CGF=90°，
∵把△ADE沿AE折叠得到△AED′，
∴AD′AD=5，∠AD′E=ADE=90°，
∴∠AD′F=90°，
在△AD′F与△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD′=∠FEG}\\{∠AD′F=∠EGF}\\{AD′=FG}\end{array}\right.$，
∴△AD′F≌△EFG，
∴AF=EF=x+y，GE=D′F=y，
∵GE²+FG²=EF²，
即y²+5²=（x+y）²，
∴y=$\frac{25-{x}^{2}}{2x}$，（0＜x＜7-2$\sqrt{6}$）；

（2）如图2，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=7-x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x²+（7-x）²=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，设ED′=a，
①当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，
∴a²=2²+（4-a）²，
解得a=$\frac{5}{2}$，即DE=$\frac{5}{2}$，
②当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，
∴a²=1²+（3-a）²，
解得a=$\frac{5}{3}$，即DE=$\frac{5}{3}$．
综上所述：DE=$\frac{5}{2}$或$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．